曲线 $C$ 的方程为

该曲线在点 $P$ 处有一个驻点。

(a) 用求导证明，点 $P$ 的 $x$ 坐标满足方程

使用迭代公式

(b) 求 $x_2$ 和 $x_6$ 的值，答案精确到小数点后 3 位。

先用乘积法则求导，再令导数等于零。利用题目给出的范围 $0<x\leq\pi$ 排除 $x=0$，便可除以 $x$ 并整理成指定的迭代公式。

The curve is

Differentiate using the product rule:

At a stationary point,

Since $0<x\leq\pi$, we may divide by $x$ and rearrange:

Here $0<\frac12x\leq\frac{\pi}{2}$, so taking arctan gives

Hence

as required.

也可以从题目要求证明的等式反向整理。把它化回导数为零的条件，即可说明该等式确实刻画曲线的驻点。

Starting from

we obtain

Therefore

so

But

hence $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$. All the steps above are reversible for $0<x\leq\pi$, so the stationary-point condition is equivalent to

把初值逐次代入题目给出的迭代式。计算器须使用弧度制，并保留足够多的中间位数，最后才按要求取三位小数。

The iteration formula is

with $x_1=2$.

For $x_2$,

Therefore

to 3 decimal places.

Continuing the iteration:

Hence

to 3 decimal places.