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IAL 2021 June Q2

A Level / Edexcel / P3

IAL 2021 June Paper · Question 2

题目

Problem

(a) Show that

1−cos⁡2x2sin⁡2x≡ktan⁡xx≠(90n)∘, n∈Z\frac{1-\cos 2x}{2\sin 2x}\equiv k\tan x\qquad x\ne (90n)^\circ,\ n\in\mathbb{Z}

where kk is a constant to be found.

(3)

(b) Hence solve, for 0<θ<90∘0<\theta<90^\circ,

9(1−cos⁡2θ)2sin⁡2θ=2sec⁡2θ\frac{9(1-\cos 2\theta)}{2\sin 2\theta}=2\sec^2\theta

giving your answers to one decimal place.

(Solutions based entirely on graphical or numerical methods are not acceptable.)

(6)
题目中文翻译

(a) 证明

1−cos⁡2x2sin⁡2x≡ktan⁡xx≠(90n)∘, n∈Z\frac{1-\cos 2x}{2\sin 2x}\equiv k\tan x\qquad x\ne (90n)^\circ,\ n\in\mathbb{Z}

其中 kk 为待求常数。

(b) 由此在 0<θ<90∘0<\theta<90^\circ 内解方程

9(1−cos⁡2θ)2sin⁡2θ=2sec⁡2θ\frac{9(1-\cos 2\theta)}{2\sin 2\theta}=2\sec^2\theta

答案精确到小数点后 1 位。

（不接受完全基于图像法或数值法的解答。）

解答

(a)

解法一

思路

展开

把分子和分母分别改写成含 sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 的倍角恒等式，再约分即可与 ktan⁡xk\tan x 比较。

答题过程

展开

Using

1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2x

and

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,\sin 2x=2\sin x\cos x,

we have

1−cos⁡2x2sin⁡2x= 2sin⁡2x4sin⁡xcos⁡x= 12sin⁡xcos⁡x= 12tan⁡x.\begin{align*} \frac{1-\cos 2x}{2\sin 2x} =&\,\frac{2\sin^2x}{4\sin x\cos x}\\[2mm] =&\,\frac12\frac{\sin x}{\cos x}\\[2mm] =&\,\frac12\tan x. \end{align*}

Therefore

k=12.\boxed{k=\frac12}.

(b)

解法一

思路

展开

先代入 (a) 的恒等式，再利用 sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2\theta=1+\tan^2\theta 把方程化成关于 tan⁡θ\tan\theta 的二次方程。因为 0<θ<90∘0<\theta<90^\circ，两个正根都有效。

答题过程

展开

Using part (a),

92tan⁡θ=2sec⁡2θ.\frac{9}{2}\tan\theta=2\sec^2\theta.

Since sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2\theta=1+\tan^2\theta,

4tan⁡2θ−9tan⁡θ+4=0.4\tan^2\theta-9\tan\theta+4=0.

Let u=tan⁡θu=\tan\theta. Then

4u2−9u+4=0,4u^2-9u+4=0,

so

u=9±178.u=\frac{9\pm\sqrt{17}}{8}.

Thus

tan⁡θ=9+178ortan⁡θ=9−178.\tan\theta=\frac{9+\sqrt{17}}{8} \quad\text{or}\quad \tan\theta=\frac{9-\sqrt{17}}{8}.

Since 0<θ<90∘0<\theta<90^\circ, both values give valid solutions:

θ=58.633…∘orθ=31.367…∘.\theta=58.633\ldots^\circ \quad\text{or}\quad \theta=31.367\ldots^\circ.

Hence, to one decimal place,

θ=31.4∘, 58.6∘.\boxed{\theta=31.4^\circ,\ 58.6^\circ}.

解法二

思路

展开

官方评分资料的另一条路线是把 tan⁡θ\tan\theta 与 sec⁡2θ\sec^2\theta 写成正弦、余弦，并将方程直接化为 sin⁡2θ=89\sin 2\theta=\frac89。随后在 0<2θ<180∘0<2\theta<180^\circ 内求出两组角度。

答题过程

展开

From part (a),

92tan⁡θ=2sec⁡2θ.\frac{9}{2}\tan\theta=2\sec^2\theta.

Writing both sides in terms of sine and cosine gives

9sin⁡θ2cos⁡θ=2cos⁡2θ.\frac{9\sin\theta}{2\cos\theta} =\frac{2}{\cos^2\theta}.

Multiplying by 2cos⁡2θ2\cos^2\theta,

9sin⁡θcos⁡θ=4.9\sin\theta\cos\theta=4.

Therefore

sin⁡2θ=89.\sin 2\theta=\frac89.

Since 0<2θ<180∘0<2\theta<180^\circ,

2θ=62.733…∘or2θ=117.267…∘.2\theta=62.733\ldots^\circ \quad\text{or}\quad 2\theta=117.267\ldots^\circ.

Hence

θ=31.4∘, 58.6∘\boxed{\theta=31.4^\circ,\ 58.6^\circ}

to one decimal place.