题目

Problem

(i) Find

\int \frac{12}{(2x-1)^2}\,\mathrm{d}x

giving your answer in simplest form.

(2)

(ii) (a) Write

\frac{4x+3}{x+2}

in the form

A+\frac{B}{x+2}

where $A$ and $B$ are constants to be found.

(b) Hence find, using algebraic integration, the exact value of

\int_{-8}^{-5}\frac{4x+3}{x+2}\,\mathrm{d}x

giving your answer in simplest form.

(6)

题目中文翻译

(i) 求

\int \frac{12}{(2x-1)^2}\,\mathrm{d}x

并将答案化为最简形式。

(ii) (a) 将

\frac{4x+3}{x+2}

写成

A+\frac{B}{x+2}

的形式，其中 $A$ 和 $B$ 为待求常数。

(b) 由此利用代数积分法求

\int_{-8}^{-5}\frac{4x+3}{x+2}\,\mathrm{d}x

的精确值，并将答案化为最简形式。

解答

(i)

解法一

思路

展开

把分母写成负指数幂，再作线性代换。由于内层函数 $2x-1$ 的导数是 $2$ ，积分时要补上因子 $\frac12$ 。

答题过程

展开

Write the integrand as

\frac{12}{(2x-1)^2}=12(2x-1)^{-2}.

Hence

\begin{align*} \int 12(2x-1)^{-2}\,\mathrm{d}x =&\,12\left[-(2x-1)^{-1}\right]\frac12\\[2mm] =&\,-\frac{6}{2x-1}. \end{align*}

Therefore

\boxed{ \int \frac{12}{(2x-1)^2}\,\mathrm{d}x =-\frac{6}{2x-1}+c }.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

用多项式除法或比较系数，把分式拆成常数项与一个真分式，方便下一问直接积分。

答题过程

展开

Let

\frac{4x+3}{x+2}=A+\frac{B}{x+2}.

Multiplying by $x+2$ gives

4x+3=A(x+2)+B.

Comparing coefficients,

A=4,\qquad 2A+B=3,

so $B=-5$ . Therefore

\boxed{\frac{4x+3}{x+2}=4-\frac{5}{x+2}}.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

使用 (ii)(a) 的拆分结果逐项积分。区间内 $x+2<0$ ，因此对数原函数应写为 $\ln|x+2|$ ，再代入上下限并合并对数。

答题过程

展开

Using part (ii)(a),

\int_{-8}^{-5}\frac{4x+3}{x+2}\,\mathrm{d}x =\int_{-8}^{-5}\left(4-\frac{5}{x+2}\right)\,\mathrm{d}x.

An antiderivative is

4x-5\ln|x+2|.

Therefore

\begin{align*} \int_{-8}^{-5}\frac{4x+3}{x+2}\,\mathrm{d}x =&\,\left[4x-5\ln|x+2|\right]_{-8}^{-5}\\[2mm] =&\,\left(-20-5\ln3\right) -\left(-32-5\ln6\right)\\[2mm] =&\,12+5\ln2. \end{align*}

Hence

\boxed{12+5\ln2}.

IAL 2021 June Q3

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)(a)

解法一

思路

答题过程

(ii)(b)

解法一

思路

答题过程