题目

Problem

The growth of duckweed on a pond is being studied.

The surface area of the pond covered by duckweed, $A\text{ m}^2$ , at a time $t$ days after the start of the study is modelled by the equation

A=pq^t

where $p$ and $q$ are positive constants.

Figure 1 shows the linear relationship between $\log_{10}A$ and $t$ .

The points $(0,0.32)$ and $(8,0.56)$ lie on the line as shown.

(a) Find, to 3 decimal places, the value of $p$ and the value of $q$ .

(4)

Using the model with the values of $p$ and $q$ found in part (a),

(b) find the rate of increase of the surface area of the pond covered by duckweed, in $\text{m}^2/\text{day}$ , exactly 6 days after the start of the study.

Give your answer to 2 decimal places.

(3)

题目中文翻译

现正研究池塘中浮萍的生长情况。

研究开始后 $t$ 天时，池塘中被浮萍覆盖的表面积 $A\text{ m}^2$ 由下式建模：

A=pq^t

其中 $p$ 和 $q$ 为正常数。

图 1 显示了 $\log_{10}A$ 与 $t$ 的线性关系。

如图所示，点 $(0,0.32)$ 和 $(8,0.56)$ 在这条直线上。

(a) 求 $p$ 和 $q$ 的值，答案精确到小数点后 3 位。

在(a)中求得的 $p$ 和 $q$ 的基础上，

(b) 求研究开始后恰好 6 天时，池塘中被浮萍覆盖表面积的增长率，单位为 $\text{m}^2/\text{day}$ 。

答案精确到小数点后 2 位。

解答

(a)

解法一

思路

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对模型取常用对数，可得关于 $t$ 的直线方程。图像的纵截距等于 $\log_{10}p$ ，斜率等于 $\log_{10}q$ ，分别取反对数即可求出 $p$ 与 $q$ 。

答题过程

展开

Since $A=pq^t$ ,

\log_{10}A=\log_{10}p+t\log_{10}q.

The graph passes through $(0,0.32)$ , so

\log_{10}p=0.32.

Therefore

p=10^{0.32}=2.089\ldots,

and hence

\boxed{p=2.089}

to 3 decimal places.

The gradient is

\frac{0.56-0.32}{8-0}=0.03.

Thus

\log_{10}q=0.03,

q=10^{0.03}=1.0715\ldots.

Hence

\boxed{q=1.072}

to 3 decimal places.

(b)

解法一

思路

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把 $p$ 、 $q$ 看作常数，直接对指数模型 $A=pq^t$ 求导，再代入 $t=6$ 。中间计算保留完整精度，最后取两位小数。

答题过程

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Differentiating $A=pq^t$ with respect to $t$ ,

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =pq^t\ln q.

Using $p=2.089$ , $q=1.072$ and $t=6$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =&\,2.089(1.072)^6\ln(1.072)\\[2mm] =&\,0.218\ldots \end{align*}

Therefore, to 2 decimal places,

\boxed{0.22\text{ m}^2/\text{day}}.

解法二

思路

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官方评分资料也可从直线关系 $\log_{10}A=0.03t+0.32$ 出发作隐函数微分。再以该模型求出 $t=6$ 时的 $A$ ，代回导数公式。

答题过程

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From the straight-line model,

\log_{10}A=0.03t+0.32.

Differentiating implicitly with respect to $t$ ,

\frac{1}{A\ln10}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=0.03.

Hence

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =0.03A\ln10.

At $t=6$ ,

A=10^{0.03(6)+0.32}=10^{0.50}.

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =&\,0.03\left(10^{0.50}\right)\ln10\\[2mm] =&\,0.218\ldots \end{align*}

Thus, to 2 decimal places,

\boxed{0.22\text{ m}^2/\text{day}}.

IAL 2021 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程