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P3 2021 June Q7

A Level / Edexcel / P3

IAL 2021 June Paper · Question 7

题目

Problem

Given that

x=6sin⁡22y0<y<π4x=6\sin^2 2y\qquad 0<y<\frac{\pi}{4}

show that

dydx=1ABx−x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{A\sqrt{Bx-x^2}}

where AA and BB are integers to be found.

(5)
题目中文翻译

已知

x=6sin⁡22y0<y<π4x=6\sin^2 2y\qquad 0<y<\frac{\pi}{4}

证明

dydx=1ABx−x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{A\sqrt{Bx-x^2}}

其中 AA 和 BB 为待求整数。

解答

解法一

思路

展开

直接对 x=6sin⁡2(2y)x=6\sin^2(2y) 关于 yy 求导，再取倒数。最后利用题目给出的 yy 的范围确定 sin⁡2y\sin2y 与 cos⁡2y\cos2y 都取正根，并把结果完全写成 xx 的函数。

答题过程

展开

Differentiating with respect to yy,

dxdy= 6⋅2sin⁡2ycos⁡2y⋅2= 24sin⁡2ycos⁡2y.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,6\cdot2\sin2y\cos2y\cdot2\\[2mm] =&\,24\sin2y\cos2y. \end{align*}

Therefore

dydx=124sin⁡2ycos⁡2y.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{24\sin2y\cos2y}.

Since

sin⁡22y=x6\sin^2 2y=\frac{x}{6}

and 0<2y<π20<2y<\frac{\pi}{2},

sin⁡2y=x6andcos⁡2y=6−x6.\sin2y=\sqrt{\frac{x}{6}} \quad\text{and}\quad \cos2y=\sqrt{\frac{6-x}{6}}.

Hence

sin⁡2ycos⁡2y=x(6−x)6.\sin2y\cos2y =\frac{\sqrt{x(6-x)}}{6}.

Thus

dydx= 124(x(6−x)6)= 146x−x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{24\left(\frac{\sqrt{x(6-x)}}{6}\right)}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4\sqrt{6x-x^2}}. \end{align*}

Therefore

A=4,B=6.\boxed{A=4,\qquad B=6}.

解法二

思路

展开

用降幂公式把原式写成 x=3−3cos⁡4yx=3-3\cos4y，求导后再以 cos⁡4y=1−x3\cos4y=1-\frac{x}{3} 求出 sin⁡4y\sin4y。由于 0<4y<π0<4y<\pi，sin⁡4y\sin4y 取正值。

答题过程

展开

Using sin⁡22y=12(1−cos⁡4y)\sin^2 2y=\frac12(1-\cos4y),

x=3−3cos⁡4y.x=3-3\cos4y.

Therefore

dxdy=12sin⁡4y.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =12\sin4y.

Also,

cos⁡4y=1−x3.\cos4y=1-\frac{x}{3}.

Since 0<4y<π0<4y<\pi, sin⁡4y>0\sin4y>0, and hence

sin⁡4y= 1−(1−x3)2= 136x−x2.\begin{align*} \sin4y =&\,\sqrt{1-\left(1-\frac{x}{3}\right)^2}\\[2mm] =&\,\frac13\sqrt{6x-x^2}. \end{align*}

Thus

dydx= 112sin⁡4y= 146x−x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{12\sin4y}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4\sqrt{6x-x^2}}. \end{align*}

Therefore

A=4,B=6.\boxed{A=4,\qquad B=6}.

解法三

思路

展开

也可以先把 sin⁡2y\sin2y 展开为 2sin⁡ycos⁡y2\sin y\cos y，用乘积法则求导，再重新合并为倍角形式。后续再像解法一一样改写成 xx。

答题过程

展开

Since

x=24sin⁡2ycos⁡2y,x=24\sin^2y\cos^2y,

differentiating gives

dxdy= 48sin⁡ycos⁡3y−48sin⁡3ycos⁡y= 48sin⁡ycos⁡y(cos⁡2y−sin⁡2y)= 24sin⁡2ycos⁡2y.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,48\sin y\cos^3y -48\sin^3y\cos y\\[2mm] =&\,48\sin y\cos y \left(\cos^2y-\sin^2y\right)\\[2mm] =&\,24\sin2y\cos2y. \end{align*}

From x=6sin⁡22yx=6\sin^2 2y and 0<2y<π20<2y<\frac{\pi}{2},

sin⁡2y=x6,cos⁡2y=6−x6.\sin2y=\sqrt{\frac{x}{6}}, \qquad \cos2y=\sqrt{\frac{6-x}{6}}.

Therefore

dydx= 124sin⁡2ycos⁡2y= 146x−x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{24\sin2y\cos2y}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4\sqrt{6x-x^2}}. \end{align*}

Hence

A=4,B=6.\boxed{A=4,\qquad B=6}.

解法四

思路

展开

利用给定范围直接把原式反解为 yy 关于 xx 的函数，再对反正弦函数求导。这条路线能避开先求 dxdy\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} 再取倒数。

答题过程

展开

Because 0<2y<π20<2y<\frac{\pi}{2},

sin⁡2y=x6.\sin2y=\sqrt{\frac{x}{6}}.

Hence

y=12arcsin⁡(x6).y=\frac12\arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{6}}\right).

Differentiating,

dydx= 1211−x6⋅112(x6)−12= 14x(6−x)= 146x−x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac12 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{6}}} \cdot\frac{1}{12} \left(\frac{x}{6}\right)^{-\frac12}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4\sqrt{x(6-x)}}\\[2mm] =&\,\frac{1}{4\sqrt{6x-x^2}}. \end{align*}

Therefore

A=4,B=6.\boxed{A=4,\qquad B=6}.