题目
Problem
The function f is defined by
f(x)=x2+7x+125x+x+45xx>0
(a) Show that
f(x)=x+35x
(3)
(b) Find f−1
(3)
(c) (i) Find, in simplest form, f′(x).
(ii) Hence, state whether f is an increasing or a decreasing function, giving a reason for your answer.
(3)
题目中文翻译
函数 f 定义为
f(x)=x2+7x+125x+x+45xx>0
(a) 证明
f(x)=x+35x
(b) 求 f−1。
(c) (i) 求 f′(x) 的最简形式。
(ii) 由此说明 f 是增函数还是减函数，并给出理由。
解答
(a)
解法一
思路
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先因式分解二次式，再把两个分式通分。分子、分母分别因式分解后消去公因式，即可得到题目要求的形式。
答题过程
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Since
x2+7x+12=(x+3)(x+4),
we have
f(x)====(x+3)(x+4)5x+(x+3)(x+4)5x(x+3)(x+3)(x+4)5x+5x(x+3)(x+3)(x+4)5x(x+4)x+35x,
as required.
解法二
思路
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官方评分资料也接受拆分分式。把第一个分式写成两个分式之差，其中一项会与原式的第二项抵消。
答题过程
展开
Since
(x+3)(x+4)5x=x+35x−x+45x,
it follows that
f(x)==x+35x−x+45x+x+45xx+35x,
as required.
(b)
解法一
思路
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令 y=f(x)，把 x 设为未知量并整理；最后交换变量名称。反函数的定义域等于原函数的值域。
答题过程
展开
Let
y=x+35x.
Then
y(x+3)=xy+3y=3y=5x5xx(5−y),
so
x=5−y3y.
Therefore
f−1(x)=5−x3x.
For x>0,
0<x+35x<5.
Hence the range of f is 0<f(x)<5, so the domain of f−1 is 0<x<5.
Therefore
f−1(x)=5−x3x,0<x<5.
解法二
思路
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先把函数改写为常数减去一个简单分式，再换元并整理。这是官方评分资料给出的另一条路线。
答题过程
展开
From part (a),
f(x)=x+35x=5−x+315.
Let
y=5−x+315.
Then
5−y=x+3=x==x+3155−y155−y15−35−y3y.
Therefore
f−1(x)=5−x3x.
Also, when x>0,
0<x+315<5,
so 0<f(x)<5. Hence
f−1(x)=5−x3x,0<x<5.
(c)(i)
解法一
思路
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直接对 (a) 得到的分式使用商法则。
答题过程
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Using
f(x)=x+35x,
the quotient rule gives
f′(x)==(x+3)25(x+3)−5x(x+3)215.
Therefore
f′(x)=(x+3)215.
解法二
思路
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使用官方替代路线，先把函数写成 5−15(x+3)−1，再用链式法则求导。
答题过程
展开
Rewrite the function as
f(x)=5−15(x+3)−1.
Therefore
f′(x)==−15(−1)(x+3)−2(x+3)215.
Hence
f′(x)=(x+3)215.
(c)(ii)
解法一
思路
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在题目的定义域内判断导数的符号。导数恒为正，因此函数递增。
答题过程
展开
For x>0,
(x+3)2>0.
Therefore
f′(x)=(x+3)215>0.
Hence f is an increasing function.
