题目
Problem
The total mass of gold, G tonnes, extracted from a mine is modelled by the equation
G=40−30e1−0.05tt≥k, G≥0
where t is the number of years after 1st January 1800.
Figure 2 shows a sketch of G against t.
Use the equation of the model to answer parts (a), (b) and (c).
(a) (i) Find the value of k.
(ii) Hence find the year and month in which gold started being extracted from the mine.
(3)
(b) Find the total mass of gold extracted from the mine up to 1st January 1870.
(2)
There is a limit to the mass of gold that can be extracted from the mine.
(c) State the value of this limit.
(1)
题目中文翻译
从某矿山中已开采出的黄金总质量 G（单位：吨）由方程
G=40−30e1−0.05tt≥k, G≥0
建模，其中 t 是自 1800 年 1 月 1 日起经过的年数。
图 2 给出了 G 关于 t 的示意图。
利用该模型方程回答 (a)、(b) 和 (c)。
(a) (i) 求 k 的值。
(ii) 由此求开始从矿山开采黄金的年份和月份。
(b) 求到 1870 年 1 月 1 日为止，从矿山中开采出的黄金总质量。
可开采出的黄金总质量有一个上限。
(c) 写出这个上限的值。
解答
(a)(i)
解法一
思路
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金矿开始开采时累计开采量为零，因此令 G=0，再取自然对数解出 t。题目把这个起始时刻记为 k。
答题过程
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At the start of extraction, G=0. Hence
0=40−30e1−0.05t.
Therefore
30e1−0.05t=e1−0.05t=1−0.05t=4034ln34.
Thus
0.05t=t=1−ln3420(1−ln34).
Hence
k=20(1−ln34)=14.2 to 3 s.f..
(a)(ii)
解法一
思路
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把 k 解释为从 1800 年 1 月 1 日起经过的年数；整数部分确定年份，小数部分乘以 12 转换成月份。
答题过程
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More accurately,
k=14.246….
Therefore extraction started during 1814. The fractional part of the year is
0.246…×12=2.95…
months after 1 January.
Hence gold extraction started in
March 1814.
(b)
解法一
思路
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1870 年 1 月 1 日距 1800 年 1 月 1 日正好 70 年，直接在模型中代入 t=70。
答题过程
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On 1 January 1870, t=70. Therefore
G===40−30e1−0.05(70)40−30e−2.537.537….
Hence, to 3 significant figures, the total mass extracted was
37.5 tonnes.
(c)
解法一
思路
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当 t 越来越大时，指数项趋近于零，因此模型趋近于常数项 40。
答题过程
展开
As t→∞,
e1−0.05t→0.
Therefore
G=40−30e1−0.05t→40.
Hence the limiting mass is
40 tonnes.
