题目

Problem

(i) Find, by algebraic integration, the exact value of

\int_2^4 \frac{8}{(2x-3)^3}\,\mathrm{d}x

(4)

(ii) Find, in simplest form,

\int x(x^2+3)^7\,\mathrm{d}x

(2)

题目中文翻译

(i) 用代数积分求

\int_2^4 \frac{8}{(2x-3)^3}\,\mathrm{d}x

的精确值。

(ii) 求

\int x(x^2+3)^7\,\mathrm{d}x

的最简形式。

解答

(i)

解法一

思路

展开

把被积函数写成负整数次幂，使用反向链式法则直接积分，再代入上下限。

答题过程

展开

Write

\frac{8}{(2x-3)^3}=8(2x-3)^{-3}.

Therefore

\int 8(2x-3)^{-3}\,\mathrm{d}x =-2(2x-3)^{-2}+c.

Hence

\begin{align*} \int_2^4\frac{8}{(2x-3)^3}\,\mathrm{d}x =&\,\bigg[-\frac{2}{(2x-3)^2}\bigg]_2^4 \\[4mm] =&\,-\frac{2}{25}+2 \\[4mm] =&\,\frac{48}{25}. \end{align*}

Thus the exact value is

\boxed{\frac{48}{25}}.

解法二

思路

展开

使用官方替代路线，令 $u=2x-3$ 。定积分换元时同时更换上下限，可以直接在 $u$ 中完成计算。

答题过程

展开

Let

u=2x-3.

Then

\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x.

When $x=2$ , $u=1$ , and when $x=4$ , $u=5$ . Therefore

\begin{align*} \int_2^4\frac{8}{(2x-3)^3}\,\mathrm{d}x =&\,4\int_1^5u^{-3}\,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\,\big[-2u^{-2}\big]_1^5 \\[4mm] =&\,-\frac{2}{25}+2 \\[4mm] =&\,\frac{48}{25}. \end{align*}

Hence

\boxed{\frac{48}{25}}.

(ii)

解法一

思路

展开

识别到 $(x^2+3)^8$ 的导数会产生 $16x(x^2+3)^7$ ，因此可直接用反向链式法则积分。

答题过程

展开

Since

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+3)^8 =16x(x^2+3)^7,

it follows that

\boxed{ \int x(x^2+3)^7\,\mathrm{d}x =\frac{1}{16}(x^2+3)^8+c }.

解法二

思路

展开

令 $u=x^2+3$ ，则积分中的 $x\,\mathrm{d}x$ 可以直接换成 $\frac12\,\mathrm{d}u$ 。

答题过程

展开

Let

u=x^2+3.

Then

\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x,

x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u.

Therefore

\begin{align*} \int x(x^2+3)^7\,\mathrm{d}x =&\,\frac{1}{2}\int u^7\,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\,\frac{u^8}{16}+c \\[4mm] =&\,\frac{(x^2+3)^8}{16}+c. \end{align*}

Hence

\boxed{ \int x(x^2+3)^7\,\mathrm{d}x =\frac{(x^2+3)^8}{16}+c }.

IAL 2021 Oct Q5

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程