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P3 2021 Oct Q6

A Level / Edexcel / P3

IAL 2021 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

(i) The curve C1C_1 has equation

y=3ln⁡(x2−5)−4x2+15x>5y=3\ln(x^2-5)-4x^2+15\qquad x>\sqrt{5}

Show that C1C_1 has a stationary point at x=p2x=\dfrac{\sqrt{p}}{2} where pp is a constant to be found.

(4)

(ii) A different curve C2C_2 has equation

y=4x−12sin⁡2xy=4x-12\sin^2x

(a) Show that, for this curve,

dydx=A+Bsin⁡2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=A+B\sin 2x

where AA and BB are constants to be found.

(b) Hence, state the maximum gradient of this curve.

(4)
题目中文翻译

(i) 曲线 C1C_1 的方程为

y=3ln⁡(x2−5)−4x2+15x>5y=3\ln(x^2-5)-4x^2+15\qquad x>\sqrt{5}

证明 C1C_1 在 x=p2x=\dfrac{\sqrt{p}}{2} 处有一个驻点，其中 pp 是需要求出的常数。

(ii) 另一条曲线 C2C_2 的方程为

y=4x−12sin⁡2xy=4x-12\sin^2x

(a) 证明对这条曲线，

dydx=A+Bsin⁡2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=A+B\sin 2x

其中 AA 与 BB 是需要求出的常数。

(b) 由此写出这条曲线的最大梯度。

解答

(i)

解法一

思路

展开

先求导并令导数为零。题目给出 x>5x>\sqrt5，所以 xx 为正且不为零，可以安全地约去 xx，最后只保留符合定义域的正根。

答题过程

展开

For

y=3ln⁡(x2−5)−4x2+15,y=3\ln(x^2-5)-4x^2+15,

we have

dydx=6xx2−5−8x.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{6x}{x^2-5}-8x.

At a stationary point,

6xx2−5−8x=0.\frac{6x}{x^2-5}-8x=0.

Since x>5x>\sqrt5, we have x≠0x\neq0. Dividing by xx gives

6x2−5=8.\frac{6}{x^2-5}=8.

Therefore

x2−5= 34x2= 234.\begin{align*} x^2-5=&\,\frac{3}{4} \\[4mm] x^2=&\,\frac{23}{4}. \end{align*}

The domain requires the positive root, so

x=232.x=\frac{\sqrt{23}}{2}.

Comparing this with x=p2x=\frac{\sqrt p}{2} gives

p=23.\boxed{p=23}.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

直接用链式法则求 sin⁡2x\sin^2x 的导数，再使用双角公式 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x。

答题过程

展开

For

y=4x−12sin⁡2x,y=4x-12\sin^2x,

the chain rule gives

dydx= 4−24sin⁡xcos⁡x= 4−12sin⁡2x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,4-24\sin x\cos x \\[4mm] =&\,4-12\sin2x. \end{align*}

Therefore

A=4,B=−12.\boxed{A=4,\qquad B=-12}.

解法二

思路

展开

先用半角恒等式把 sin⁡2x\sin^2x 改写成含 cos⁡2x\cos2x 的式子，再求导。

答题过程

展开

Using

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},

we can write

y= 4x−6(1−cos⁡2x)= 4x−6+6cos⁡2x.\begin{align*} y=&\,4x-6(1-\cos2x) \\[4mm] =&\,4x-6+6\cos2x. \end{align*}

Hence

dydx=4−12sin⁡2x.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =4-12\sin2x.

Therefore

A=4,B=−12.\boxed{A=4,\qquad B=-12}.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

承接 (ii)(a)，利用 −1≤sin⁡2x≤1-1\leq\sin2x\leq1。由于正弦项前的系数为负，sin⁡2x=−1\sin2x=-1 时梯度最大。

答题过程

展开

From part (ii)(a),

dydx=4−12sin⁡2x.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =4-12\sin2x.

Since

−1≤sin⁡2x≤1,-1\leq\sin2x\leq1,

the maximum gradient occurs when sin⁡2x=−1\sin2x=-1. Therefore

max⁡(dydx)=4−12(−1)=16.\max\bigg(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg) =4-12(-1) =16.

Hence the maximum gradient is

16.\boxed{16}.

解法二

思路

展开

也可以对梯度再次求导：先找梯度的驻值位置，再比较这些位置的梯度值。

答题过程

展开

Differentiating the gradient gives

d2ydx2=−24cos⁡2x.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =-24\cos2x.

At a stationary value of the gradient,

cos⁡2x=0,\cos2x=0,

so

sin⁡2x=1orsin⁡2x=−1.\sin2x=1 \quad\text{or}\quad \sin2x=-1.

The corresponding gradient values are

4−12(1)=−84-12(1)=-8

and

4−12(−1)=16.4-12(-1)=16.

Therefore the maximum gradient is

16.\boxed{16}.