题目

Problem

A curve $C$ has equation $y=f(x)$ , where

f(x)=\arcsin\bigg(\frac{x}{2}\bigg), \qquad -2\leq x\leq2,

-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}

(a) Sketch $C$ .

(1)

(b) Given $x=2\sin y$ , show that

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{\sqrt{A-x^2}}

where $A$ is a constant to be found.

(3)

The point $P$ lies on $C$ and has $y$ coordinate $\dfrac{\pi}{4}$ .

(c) Find the equation of the tangent to $C$ at $P$ . Write your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are constants to be found.

(3)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中

f(x)=\arcsin\bigg(\frac{x}{2}\bigg), \qquad -2\leq x\leq2,

-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}

(a) 画出曲线 $C$ 的草图。

(b) 已知 $x=2\sin y$ ，证明

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{\sqrt{A-x^2}}

其中 $A$ 是需要求出的常数。

点 $P$ 在曲线 $C$ 上，且其 $y$ 坐标为 $\dfrac{\pi}{4}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

这是 $y=\arcsin x$ 的横向伸长图像。草图应经过两个端点和原点，在第三、第一象限单调递增，并在两端趋于竖直。

答题过程

展开

The curve passes through

\bigg(-2,-\frac{\pi}{2}\bigg), \qquad (0,0), \qquad \bigg(2,\frac{\pi}{2}\bigg).

It is increasing throughout $-2\leq x\leq2$ , with the gradient tending to infinity at both endpoints.

(b)

解法一

思路

展开

按照题目给出的 $x=2\sin y$ 做隐式求导，再利用反函数值域确定 $\cos y$ 取非负平方根。

答题过程

展开

Given

x=2\sin y,

differentiate with respect to $y$ :

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=2\cos y.

Therefore

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{2\cos y}.

Also,

\sin y=\frac{x}{2}.

Since $-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$ , we have $\cos y\geq0$ . Hence

\begin{align*} \cos y =&\,\sqrt{1-\sin^2y} \\[4mm] =&\,\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}. \end{align*}

Thus

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \\[4mm] =&\,\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}. \end{align*}

Therefore

\boxed{A=4}.

解法二

思路

展开

官方替代路线是直接使用反正弦函数的导数公式，并配合链式法则。

答题过程

展开

From

y=\arcsin\bigg(\frac{x}{2}\bigg),

the chain rule gives

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{\frac{1}{2}} {\sqrt{1-\big(\frac{x}{2}\big)^2}} \\[4mm] =&\,\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}. \end{align*}

Hence

\boxed{A=4}.

(c)

解法一

思路

展开

先由 $y=\frac{\pi}{4}$ 求点 $P$ 的横坐标，再把该横坐标代入 (b) 的导数，最后使用点斜式。

答题过程

展开

At $P$ ,

y=\frac{\pi}{4}.

Using $x=2\sin y$ ,

x=2\sin\frac{\pi}{4} =\sqrt2.

Hence

P=\bigg(\sqrt2,\frac{\pi}{4}\bigg).

From part (b), the gradient at $P$ is

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{\sqrt{4-(\sqrt2)^2}} \\[4mm] =&\,\frac{\sqrt2}{2}. \end{align*}

Therefore the tangent satisfies

y-\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}(x-\sqrt2).

Rearranging,

\boxed{y=\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{\pi}{4}-1}.

IAL 2021 Oct Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程