题目
Problem
Figure 3 shows a sketch of part of the curve with equation y=f(x), where
f(x)=x(x2−4)e−x/2
(a) Find f′(x).
(2)
The line l is the normal to the curve at O and meets the curve again at the point P.
The point P lies in the 3rd quadrant, as shown in Figure 3.
(b) Show that the x coordinate of P is a solution of the equation
x=−2116+ex/2
(4)
(c) Using the iterative formula
xn+1=−2116+exn/2with x1=−2
find, to 4 decimal places,
(i) the value of x2
(ii) the x coordinate of P.
(3)
题目中文翻译
图 3 给出了部分曲线的示意图，其方程为 y=f(x)，其中
f(x)=x(x2−4)e−x/2
(a) 求 f′(x)。
直线 l 是曲线在点 O 处的法线，并与曲线再次相交于点 P。
点 P 位于第三象限，如图 3 所示。
(b) 证明点 P 的 x 坐标是方程
x=−2116+ex/2
的一个解。
(c) 使用迭代公式
xn+1=−2116+exn/2其中 x1=−2
求下列各值（精确到小数点后 4 位）：
(i) x2
(ii) 点 P 的 x 坐标。
解答
(a)
解法一
思路
展开
把函数写成多项式与指数函数的乘积，使用乘积法则，并提取共同的指数因子。
答题过程
展开
Write
f(x)=(x3−4x)e−x/2.
Using the product rule,
f′(x)==(3x2−4)e−x/2−21(x3−4x)e−x/2(−21x3+3x2+2x−4)e−x/2.
Therefore
f′(x)=(−21x3+3x2+2x−4)e−x/2.
解法二
思路
展开
官方评分资料也接受把指数因子移到分母，再使用商法则。约去共同指数因子后会得到同一个导数。
答题过程
展开
Rewrite the function as
f(x)=ex/2x3−4x.
Using the quotient rule,
f′(x)===exex/2[3x2−4−21(x3−4x)][3x2−4−21(x3−4x)]e−x/2(−21x3+3x2+2x−4)e−x/2.
Hence
f′(x)=(−21x3+3x2+2x−4)e−x/2.
(b)
解法一
思路
展开
先由 f′(0) 求曲线在原点的切线斜率，再取负倒数得到法线。把法线与曲线方程联立，并利用 P=O 约去 x；最后用第三象限确定负号。
答题过程
展开
From part (a),
f′(0)=−4.
Therefore the gradient of the normal at O is 41, so the normal is
y=41x.
At the second point of intersection P,
x(x2−4)e−x/2=41x.
Since P=O, we have x=0. Dividing by x gives
(x2−4)e−x/2=41.
Hence
x2−4=x2=41ex/241(16+ex/2).
The point P lies in the third quadrant, so its x-coordinate is negative. Therefore
x=−2116+ex/2,
as required.
(c)(i)
解法一
思路
展开
在给定迭代公式中代入 x1=−2，直接求 x2。
答题过程
展开
Using x1=−2,
x2==−2116+e−1−2.0229
to 4 decimal places. Hence
x2=−2.0229.
(c)(ii)
解法一
思路
展开
继续迭代，直到数值在题目要求的四位小数下保持不变。
答题过程
展开
Continuing the iteration gives
x1=x2=x3=x4=−2,−2.0229,−2.0226,−2.0226.
Therefore the values converge, to 4 decimal places, to
x=−2.0226.
Hence the x-coordinate of P is −2.0226.
