题目

Problem

Figure 3 shows a sketch of the curve $C$ with equation

x=ye^{2y}\qquad y\in\mathbb{R}

(a) Show that

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x(1+2y)}

(4)

Given that the straight line with equation $x=k$ , where $k$ is a constant, cuts $C$ at exactly two points,

(b) find the range of possible values for $k$ .

(3)

题目中文翻译

图 3 给出了曲线 $C$ 的示意图，其方程为

x=ye^{2y}\qquad y\in\mathbb{R}

(a) 证明

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x(1+2y)}

已知直线 $x=k$ （其中 $k$ 为常数）与曲线 $C$ 恰有两个交点。

(b) 求 $k$ 的可能取值范围。

解答

(a)

解法一

思路

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把 $x$ 看成 $y$ 的函数，先求 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}y$ ，再取倒数。最后用 $x=ye^{2y}$ 消去指数项。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $y$ ,

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =e^{2y}(1+2y)

Therefore

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{e^{-2y}}{1+2y}

Since $x=ye^{2y}$ , we have $e^{-2y}=y/x$ . Hence

\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{y}{x(1+2y)} }

as required.

解法二

思路

展开

使用对数求导，把乘积转成和，再直接解出 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 。写成绝对值对数可同时覆盖曲线的负值部分。

答题过程

展开

For non-zero $x$ and $y$ , take logarithms:

\ln|x|=\ln|y|+2y

Differentiating with respect to $x$ ,

\frac1x =\bigg(\frac1y+2\bigg) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

Therefore

\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{y}{x(1+2y)} }

as required.

(b)

解法一

思路

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竖直线要与曲线恰有两个交点， $k$ 必须位于曲线最左端的 $x$ 坐标与原点的 $x$ 坐标之间。用 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}y=0$ 求出最左端点。

答题过程

展开

From part (a),

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =e^{2y}(1+2y)

At the turning point,

e^{2y}(1+2y)=0

Since $e^{2y}>0$ ,

y=-\frac12

Then

x=-\frac12e^{-1} =-\frac{1}{2e}

The curve also passes through the origin. A vertical line has exactly two intersections when its $x$ coordinate lies strictly between these values. Therefore

\boxed{-\frac{1}{2e}<k<0}

IAL 2022 Jan Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程