题目

Problem

(a) Show that the equation

8\cos\theta=3\cosec\theta

can be written in the form

\sin 2\theta=k

where $k$ is a constant to be found.

(3)

(b) Hence find the smallest positive solution of the equation

8\cos\theta=3\cosec\theta

giving your answer, in degrees, to one decimal place.

(2)

题目中文翻译

(a) 证明方程

8\cos\theta=3\cosec\theta

可以写成

\sin 2\theta=k

的形式，其中 $k$ 是需要求出的常数。

(b) 由此求方程

8\cos\theta=3\cosec\theta

的最小正解，并以角度制表示，精确到小数点后 1 位。

解答

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先把 $\cosec\theta$ 改写为 $1/\sin\theta$ ，再使用二倍角恒等式 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 。

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Since $\cosec\theta=1/\sin\theta$ ,

8\cos\theta=\frac{3}{\sin\theta}

Therefore

8\sin\theta\cos\theta=3

Using $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ ,

4\sin 2\theta=3

Hence

\sin 2\theta=\frac34

\boxed{k=\frac34}

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承接 (a)，最小正解对应 $2\theta$ 的第一象限主值；求出主值后再除以 $2$ 。

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From part (a),

\sin 2\theta=\frac34

For the smallest positive solution,

2\theta=\sin^{-1}\bigg(\frac34\bigg)

Therefore

\theta=\frac12\sin^{-1}\bigg(\frac34\bigg) =24.295\ldots^\circ

Hence, to one decimal place,

\boxed{\theta=24.3^\circ}