题目

Problem

(i) Find, in simplest form,

\int(2x-5)^7\,\mathrm{d}x

(2)

(ii) Show, by algebraic integration, that

\int_0^{\pi/3}\frac{4\sin x}{1+2\cos x}\,\mathrm{d}x=\ln a

where $a$ is a rational constant to be found.

(4)

题目中文翻译

(i) 求

\int(2x-5)^7\,\mathrm{d}x

的最简形式。

(ii) 用代数积分证明

\int_0^{\pi/3}\frac{4\sin x}{1+2\cos x}\,\mathrm{d}x=\ln a

其中 $a$ 是需要求出的有理常数。

解答

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把被积函数看成复合幂函数，使用反向链式法则；内函数 $2x-5$ 的导数是 $2$ ，因此结果要再除以 $2$ 。

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Using the reverse chain rule,

\int(2x-5)^7\,\mathrm{d}x =\frac{(2x-5)^8}{16}+c

Hence

\boxed{\frac{(2x-5)^8}{16}+c}

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分母 $1+2\cos x$ 的导数与分子只相差常数倍，因此令 $u=1+2\cos x$ ，把积分化为对数积分，再代入上下限。

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Let

u=1+2\cos x

Then

\mathrm{d}u=-2\sin x\,\mathrm{d}x

Therefore

\int\frac{4\sin x}{1+2\cos x}\,\mathrm{d}x =-2\int\frac{1}{u}\,\mathrm{d}u =-2\ln u

Hence

\begin{align*} &\,\int_0^{\pi/3} \frac{4\sin x}{1+2\cos x}\,\mathrm{d}x \\ =&\,\Big[-2\ln(1+2\cos x)\Big]_0^{\pi/3} \\ =&\,-2\ln 2+2\ln 3 \\ =&\,\ln\bigg(\frac94\bigg) \end{align*}

Thus

\boxed{a=\frac94}