题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation

y=6\ln(2x+3)-\frac12x^2+4\qquad x>-\frac32

The curve cuts the negative $x$ -axis at the point $P$ , as shown in Figure 1.

(a) Show that the $x$ coordinate of $P$ lies in the interval $[-1.25,-1.2]$

(2)

The curve cuts the positive $x$ -axis at the point $Q$ , also shown in Figure 1.

Using the iterative formula

x_{n+1}=\sqrt{12\ln(2x_n+3)+8}\text{ with }x_1=6

(b) (i) find, to 4 decimal places, the value of $x_2$

(ii) find, by continued iteration, the $x$ coordinate of $Q$ . Give your answer to 4 decimal places.

(3)

The curve has a maximum turning point at $M$ , as shown in Figure 1.

(4)

题目中文翻译

图 1 给出了部分曲线的示意图，其方程为

y=6\ln(2x+3)-\frac12x^2+4\qquad x>-\frac32

该曲线与负 $x$ 轴交于点 $P$ ，如图所示。

(a) 证明点 $P$ 的 $x$ 坐标位于区间 $[-1.25,-1.2]$ 内。

该曲线还与正 $x$ 轴交于点 $Q$ ，如图所示。

使用迭代公式

x_{n+1}=\sqrt{12\ln(2x_n+3)+8}\text{，其中 }x_1=6

(b) (i) 求 $x_2$ 的值，精确到小数点后 4 位。

(ii) 用继续迭代的方法求点 $Q$ 的 $x$ 坐标，答案精确到小数点后 4 位。

曲线在点 $M$ 处有一个极大转折点，如图所示。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别计算区间两端的函数值。函数在该区间连续，若两端异号，便可用介值定理说明区间内存在一个根。

答题过程

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Let

f(x)=6\ln(2x+3)-\frac12x^2+4

Then

f(-1.25)=-0.940\ldots<0

and

f(-1.2)=0.214\ldots>0

Since $f$ is continuous on $[-1.25,-1.2]$ , there is a root in this interval. Hence

\boxed{-1.25\leq x_P\leq-1.2}

(b)(i)

解法一

思路

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在给定迭代式中取 $n=1$ ，直接代入 $x_1=6$ 。

答题过程

展开

x_2=\sqrt{12\ln(2\times6+3)+8} =6.3637\ldots

Hence, to four decimal places,

\boxed{x_2=6.3637}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

继续使用同一迭代式，直到连续结果在四位小数下稳定。

答题过程

展开

Continuing the iteration,

$n$	$x_n$
1	$6.0000$
2	$6.3637$
3	$6.4082$
4	$6.4135$
5	$6.4141$
6	$6.4142$
7	$6.4142$

Therefore the $x$ coordinate of $Q$ is

\boxed{x_Q=6.4142}

(c)

解法一

思路

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先求导并令导数为零，得到二次方程。两个代数根中，只有正根符合图中最大点 $M$ 的位置，也符合定义域 $x>-3/2$ 。

答题过程

展开

Differentiating,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{12}{2x+3}-x

At $M$ ,

\frac{12}{2x+3}-x=0

Therefore

2x^2+3x-12=0

Using the quadratic formula,

x=\frac{-3\pm\sqrt{105}}{4}

The negative root is outside the domain $x>-3/2$ . Hence

\boxed{x_M=\frac{-3+\sqrt{105}}{4}}

IAL 2022 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程