函数 $f$ 定义为

(a) 用微积分证明 $f$ 是单调递减函数。

(b) 求 $f^{-1}$。

(c) (i) 证明

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是需要求出的常数。

(ii) 由此写出 $ff$ 的值域。

直接使用商法则。导数的分母恒正，而分子为负常数，因此在定义域内导数恒负。

Using the quotient rule,

For $x>4$, $(x-4)^2>0$, so $f'(x)<0$. Therefore $f$ is decreasing.

先拆分分式为常数与倒数函数之和，再求导。

Rewrite

Then

for $x>4$. Hence $f$ is decreasing.

令 $y=f(x)$，把方程改写为以 $x$ 为主项，再交换变量。反函数的定义域等于原函数的值域。

Let

Then

so

Therefore

Since $f(x)=5+17/(x-4)>5$ for $x>4$, the domain of $f^{-1}$ is $x>5$. Hence

从拆分形式 $y=5+17/(x-4)$ 出发，移项后取倒数，可以更快地把 $x$ 表示成 $y$。

From

we obtain

Therefore

把 $f(x)$ 代入外层函数，并分别通分外层分子和分母，避免把嵌套分式挤在同一行。

The numerator of $f(f(x))$ is

and the denominator is

Therefore

Hence

使用拆分形式 $f(u)=5+17/(u-4)$；只需先求出 $f(x)-4$，便可完成复合。

Since

and

we have

Thus

由定义域 $x>4$ 可知 $x+13>17$。把 (c)(i) 的结果写成 $22-289/(x+13)$，即可确定上下界；两端都只能趋近而不能取得。

From part (c)(i),

Since $x>4$, we have $x+13>17$, so

Therefore