CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2022 Jan Q6

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

The function ff is defined by

f(x)=5x−3x−4x>4f(x)=\frac{5x-3}{x-4}\qquad x>4

(a) Show, by using calculus, that ff is a decreasing function.

(3)

(b) Find f−1f^{-1}

(3)

(c) (i) Show that

ff(x)=ax+bx+cff(x)=\frac{ax+b}{x+c}

where aa, bb and cc are constants to be found.

(ii) Deduce the range of ffff.

(5)
题目中文翻译

函数 ff 定义为

f(x)=5x−3x−4x>4f(x)=\frac{5x-3}{x-4}\qquad x>4

(a) 用微积分证明 ff 是单调递减函数。

(b) 求 f−1f^{-1}。

(c) (i) 证明

ff(x)=ax+bx+cff(x)=\frac{ax+b}{x+c}

其中 aa、bb 和 cc 是需要求出的常数。

(ii) 由此写出 ffff 的值域。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接使用商法则。导数的分母恒正，而分子为负常数，因此在定义域内导数恒负。

答题过程

展开

Using the quotient rule,

f′(x)= 5(x−4)−(5x−3)(x−4)2= −17(x−4)2\begin{align*} f'(x)=&\,\frac{5(x-4)-(5x-3)}{(x-4)^2} \\ =&\,-\frac{17}{(x-4)^2} \end{align*}

For x>4x>4, (x−4)2>0(x-4)^2>0, so f′(x)<0f'(x)<0. Therefore ff is decreasing.

解法二

思路

展开

先拆分分式为常数与倒数函数之和，再求导。这条路线也是官方评分资料接受的替代方法。

答题过程

展开

Rewrite

f(x)=5+17x−4f(x)=5+\frac{17}{x-4}

Then

f′(x)=−17(x−4)2<0f'(x)=-\frac{17}{(x-4)^2}<0

for x>4x>4. Hence ff is decreasing.

(b)

解法一

思路

展开

令 y=f(x)y=f(x)，把方程改写为以 xx 为主项，再交换变量。反函数的定义域等于原函数的值域。

答题过程

展开

Let

y=5x−3x−4y=\frac{5x-3}{x-4}

Then

x(y−5)=4y−3x(y-5)=4y-3

so

x=4y−3y−5x=\frac{4y-3}{y-5}

Therefore

f−1(x)=4x−3x−5f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{x-5}

Since f(x)=5+17/(x−4)>5f(x)=5+17/(x-4)>5 for x>4x>4, the domain of f−1f^{-1} is x>5x>5. Hence

f−1(x)=4x−3x−5,x>5\boxed{f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{x-5},\quad x>5}

解法二

思路

展开

从拆分形式 y=5+17/(x−4)y=5+17/(x-4) 出发，移项后取倒数，可以更快地把 xx 表示成 yy。

答题过程

展开

From

y=5+17x−4y=5+\frac{17}{x-4}

we obtain

x=4+17y−5=4y−3y−5x=4+\frac{17}{y-5} =\frac{4y-3}{y-5}

Therefore

f−1(x)=4x−3x−5,x>5\boxed{f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{x-5},\quad x>5}

(c)(i)

解法一

思路

展开

把 f(x)f(x) 代入外层函数，并分别通分外层分子和分母，避免把嵌套分式挤在同一行。

答题过程

展开

The numerator of f(f(x))f(f(x)) is

5f(x)−3=22x−3x−45f(x)-3=\frac{22x-3}{x-4}

and the denominator is

f(x)−4=x+13x−4f(x)-4=\frac{x+13}{x-4}

Therefore

ff(x)=22x−3x+13ff(x)=\frac{22x-3}{x+13}

Hence

a=22,b=−3,c=13\boxed{a=22,\quad b=-3,\quad c=13}

解法二

思路

展开

使用拆分形式 f(u)=5+17/(u−4)f(u)=5+17/(u-4)；只需先求出 f(x)−4f(x)-4，便可完成复合。

答题过程

展开

Since

f(u)=5+17u−4f(u)=5+\frac{17}{u-4}

and

f(x)−4=x+13x−4,f(x)-4=\frac{x+13}{x-4},

we have

ff(x)= 5+17f(x)−4= 5+17(x−4)x+13= 22x−3x+13\begin{align*} ff(x)=&\,5+\frac{17}{f(x)-4} \\ =&\,5+\frac{17(x-4)}{x+13} \\ =&\,\frac{22x-3}{x+13} \end{align*}

Thus

a=22,b=−3,c=13\boxed{a=22,\quad b=-3,\quad c=13}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

由定义域 x>4x>4 可知 x+13>17x+13>17。把 (c)(i) 的结果写成 22−289/(x+13)22-289/(x+13)，即可确定上下界；两端都只能趋近而不能取得。

答题过程

展开

From part (c)(i),

ff(x)=22−289x+13ff(x)=22-\frac{289}{x+13}

Since x>4x>4, we have x+13>17x+13>17, so

0<289x+13<170<\frac{289}{x+13}<17

Therefore

5<ff(x)<22\boxed{5<ff(x)<22}