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P3 2022 Jan Q7

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Jan Paper · Question 7

题目

Problem

Figure 2 shows a sketch of part of the graph with equation y=f(x)y=f(x), where

f(x)=12∣2x+7∣−10f(x)=\frac12|2x+7|-10

(a) State the coordinates of the vertex, VV, of the graph.

(2)

(b) Solve, using algebra,

12∣2x+7∣−10≥13x+1\frac12|2x+7|-10\ge \frac13x+1
(4)

(c) Sketch the graph with equation

y=∣f(x)∣y=|f(x)|

stating the coordinates of the local maximum point and each local minimum point.

(4)
题目中文翻译

图 2 给出了部分图像 y=f(x)y=f(x) 的示意图，其中

f(x)=12∣2x+7∣−10f(x)=\frac12|2x+7|-10

(a) 写出该图像顶点 VV 的坐标。

(b) 用代数方法解不等式

12∣2x+7∣−10≥13x+1\frac12|2x+7|-10\ge \frac13x+1

(c) 画出方程

y=∣f(x)∣y=|f(x)|

的图像，并写出局部极大点以及各局部极小点的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

绝对值图像的顶点出现在绝对值内部等于零的位置。求出横坐标后代回函数即可。

答题过程

展开

At the vertex,

2x+7=02x+7=0

so x=−7/2x=-7/2. Then

f(−72)=−10f\bigg(-\frac72\bigg)=-10

Therefore

V=(−72,−10)\boxed{V=\bigg(-\frac72,-10\bigg)}

(b)

解法一

思路

展开

把不等式整理为 ∣2x+7∣≥23x+22|2x+7|\geq\frac23x+22，再分别令绝对值内部取正、取负，求出两个临界值。最后用区间检验选取外侧区间。

答题过程

展开

The inequality is equivalent to

∣2x+7∣≥23x+22|2x+7|\geq\frac23x+22

The critical values satisfy

2x+7=23x+222x+7=\frac23x+22

or

−(2x+7)=23x+22-(2x+7)=\frac23x+22

These give

x=454orx=−878x=\frac{45}{4} \quad\text{or}\quad x=-\frac{87}{8}

Testing the intervals gives

x≤−878orx≥454\boxed{x\leq-\frac{87}{8} \quad\text{or}\quad x\geq\frac{45}{4}}

解法二

思路

展开

也可以使用平方化路线。右边为正时两边平方并化为二次不等式；右边非正时原不等式自动成立，最终仍并入左侧区间。

答题过程

展开

For 23x+22>0\frac23x+22>0, square both sides:

(2x+7)2≥(23x+22)2(2x+7)^2\geq\bigg(\frac23x+22\bigg)^2

Multiplying by 99 and simplifying gives

32x2−12x−3915≥032x^2-12x-3915\geq0

Since

32x2−12x−3915=32(x+878)(x−454),32x^2-12x-3915 =32\bigg(x+\frac{87}{8}\bigg) \bigg(x-\frac{45}{4}\bigg),

the outside intervals are selected. The case 23x+22≤0\frac23x+22\leq0 is already contained in the left interval. Hence

x≤−878orx≥454\boxed{x\leq-\frac{87}{8} \quad\text{or}\quad x\geq\frac{45}{4}}

(c)

解法一

思路

展开

作 y=∣f(x)∣y=|f(x)| 时，原图在 xx 轴下方的部分向上反射。原顶点变为局部极大点；原图与 xx 轴的两个交点变为局部极小点。

答题过程

展开

The point (−7/2,−10)(-7/2,-10) is reflected in the xx-axis, giving the local maximum

(−72,10)\bigg(-\frac72,10\bigg)

For the local minima,

12∣2x+7∣−10=0\frac12|2x+7|-10=0

so ∣2x+7∣=20|2x+7|=20. Hence

x=−272orx=132x=-\frac{27}{2} \quad\text{or}\quad x=\frac{13}{2}

Therefore the local maximum is

(−72,10)\boxed{\bigg(-\frac72,10\bigg)}

and the local minima are

(−272,0),(132,0)\boxed{\bigg(-\frac{27}{2},0\bigg), \quad\bigg(\frac{13}{2},0\bigg)}