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IAL 2022 Jan Q8

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Jan Paper · Question 8

题目

Problem

A dose of antibiotics is given to a patient.

The amount of the antibiotic, xx milligrams, in the patient’s bloodstream tt hours after the dose was given, is found to satisfy the equation

log⁡10x=2.74−0.079t\log_{10}x=2.74-0.079t

(a) Show that this equation can be written in the form

x=pq−tx=pq^{-t}

where pp and qq are constants to be found. Give the value of pp to the nearest whole number and the value of qq to 2 significant figures.

(4)

(b) With reference to the equation in part (a), interpret the value of the constant pp.

(1)

When a different dose of the antibiotic is given to another patient, the values of xx and tt satisfy the equation

x=400×1.4−tx=400\times 1.4^{-t}

(c) Use calculus to find, to 2 significant figures, the value of

dxdt\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

when t=5t=5

(3)
题目中文翻译

给一位病人服用了一剂抗生素。

给药后 tt 小时，病人血液中的抗生素含量为 xx 毫克，并满足方程

log⁡10x=2.74−0.079t\log_{10}x=2.74-0.079t

(a) 证明该方程可以写成

x=pq−tx=pq^{-t}

的形式，其中 pp 和 qq 是需要求出的常数。把 pp 的值取最接近的整数，把 qq 的值保留 2 位有效数字。

(b) 结合 (a) 中的方程，解释常数 pp 的含义。

当给另一位病人服用不同剂量的抗生素时，xx 和 tt 满足方程

x=400×1.4−tx=400\times 1.4^{-t}

(c) 用微积分求当 t=5t=5 时

dxdt\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

的值，答案保留 2 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把常用对数方程两边作为 1010 的指数，再把含 tt 的指数项写成某个常数的 −t-t 次方，与 pq−tpq^{-t} 对照。

答题过程

展开 x= 102.74−0.079t= 102.74(100.079)−t\begin{align*} x=&\,10^{2.74-0.079t} \\ =&\,10^{2.74}\big(10^{0.079}\big)^{-t} \end{align*}

Therefore

p=102.74=549.540…p=10^{2.74}=549.540\ldots

and

q=100.079=1.199…q=10^{0.079}=1.199\ldots

Hence

p=550,q=1.2\boxed{p=550,\quad q=1.2}

(b)

解法一

思路

展开

令 t=0t=0，即可读出参数 pp 的实际意义。

答题过程

展开

When t=0t=0,

x=pq0=px=pq^0=p

Therefore pp is the amount of antibiotic, in milligrams, in the patient’s bloodstream immediately after the dose was given.

(c)

解法一

思路

展开

使用 aua^{u} 的求导公式，直接对指数模型求导，再代入 t=5t=5。

答题过程

展开

Differentiating,

dxdt=−400ln⁡(1.4) 1.4−t\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =-400\ln(1.4)\,1.4^{-t}

When t=5t=5,

dxdt=−400ln⁡(1.4) 1.4−5=−25.02…\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =-400\ln(1.4)\,1.4^{-5} =-25.02\ldots

Hence, to two significant figures,

dxdt=−25\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-25}

解法二

思路

展开

先对等式取自然对数，再隐式求导。这是官方评分资料列出的替代路线。

答题过程

展开

Taking natural logarithms,

ln⁡x=ln⁡400−tln⁡1.4\ln x=\ln 400-t\ln 1.4

Differentiating with respect to tt,

1xdxdt=−ln⁡1.4\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =-\ln 1.4

Thus

dxdt=−xln⁡1.4\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-x\ln 1.4

At t=5t=5, x=400(1.4)−5x=400(1.4)^{-5}, so

dxdt=−400(1.4)−5ln⁡1.4=−25.02…\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =-400(1.4)^{-5}\ln 1.4 =-25.02\ldots

Therefore

dxdt=−25\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-25}