题目

Problem

In this question you must show detailed reasoning.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i) Solve, for $0<x\le \pi$ , the equation

2\sec^2x-3\tan x=2

giving the answers, as appropriate, to 3 significant figures.

(4)

(ii) Prove that

\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}-\frac{\cos 3\theta}{\cos\theta}\equiv 2

(4)

题目中文翻译

本题中你必须写出详细的推理过程。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(i) 在 $0<x\le \pi$ 内解方程

2\sec^2x-3\tan x=2

答案按需要保留 3 位有效数字。

(ii) 证明

\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}-\frac{\cos 3\theta}{\cos\theta}\equiv 2

解答

(i)

解法一

思路

展开

用 $\sec^2x=1+\tan^2x$ 把方程化为关于 $\tan x$ 的二次方程，再根据给定区间筛选解。

答题过程

展开

Using $\sec^2x=1+\tan^2x$ ,

2(1+\tan^2x)-3\tan x=2

Therefore

\tan x(2\tan x-3)=0

Hence

\tan x=0 \quad\text{or}\quad \tan x=\frac32

For $0<x\leq\pi$ ,

x=\pi

x=\tan^{-1}\bigg(\frac32\bigg) =0.9827\ldots

Therefore

\boxed{x=0.983,\ \pi}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受把 $\sec x$ 与 $\tan x$ 全部改写成正弦、余弦。乘以 $\cos^2x$ 后可直接因式分解。

答题过程

展开

Multiplying the equation by $\cos^2x$ gives

2-3\sin x\cos x=2\cos^2x

Hence

\begin{align*} 2\sin^2x-3\sin x\cos x=&\,0 \\ \sin x(2\sin x-3\cos x)=&\,0 \end{align*}

Thus

\sin x=0 \quad\text{or}\quad \tan x=\frac32

Applying $0<x\leq\pi$ gives

\boxed{x=0.983,\ \pi}

(ii)

解法一

思路

展开

先通分，再把分子识别为 $\sin(A-B)$ ；随后使用二倍角恒等式约分。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta} -\frac{\cos 3\theta}{\cos\theta} \\ =&\,\frac{\sin 3\theta\cos\theta -\cos 3\theta\sin\theta} {\sin\theta\cos\theta} \\ =&\,\frac{\sin(3\theta-\theta)} {\sin\theta\cos\theta} \\ =&\,\frac{\sin 2\theta} {\sin\theta\cos\theta} \\ =&\,2 \end{align*}

Hence

\boxed{ \frac{\sin 3\theta}{\sin\theta} -\frac{\cos 3\theta}{\cos\theta} \equiv2 }

IAL 2022 Jan Q9

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程