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P3 2022 Oct Q1

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Oct Paper · Question 1

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

f(x)=2x3−4x−15x2+3x+4f(x)=\frac{2x^3-4x-15}{x^2+3x+4}

(a) Show that

 f(x)≡ Ax+B +C(2x+3)x2+3x+4\begin{align*} &\,f(x)\\ \equiv&\,Ax+B\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{C(2x+3)}{x^2+3x+4} \end{align*}

where AA, BB and CC are integers to be found.

(4)

(b) Hence, find

∫35f(x) dx\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x

giving your answer in the form p+ln⁡qp+\ln q, where pp and qq are integers.

(5)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

f(x)=2x3−4x−15x2+3x+4f(x)=\frac{2x^3-4x-15}{x^2+3x+4}

(a) 证明

 f(x)≡ Ax+B +C(2x+3)x2+3x+4\begin{align*} &\,f(x)\\ \equiv&\,Ax+B\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{C(2x+3)}{x^2+3x+4} \end{align*}

其中 AA、BB 和 CC 是需要求出的整数。

(b) 由此求

∫35f(x) dx\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x

并把答案写成 p+ln⁡qp+\ln q 的形式，其中 pp 和 qq 是整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

两边乘以分母并比较同次幂系数，依次求出 AA、BB、CC。

答题过程

展开

Multiplying by x2+3x+4x^2+3x+4 gives

 2x3−4x−15= (Ax+B)(x2+3x+4) +C(2x+3)\begin{align*} &\,2x^3-4x-15\\ =&\,(Ax+B)(x^2+3x+4)\\ &\,\hspace{2pt}+C(2x+3) \end{align*}

Expanding the right-hand side,

 2x3−4x−15= Ax3+(3A+B)x2 +(4A+3B+2C)x +(4B+3C)\begin{align*} &\,2x^3-4x-15\\ =&\,Ax^3+(3A+B)x^2\\ &\,\hspace{2pt}+(4A+3B+2C)x\\ &\,\hspace{4pt}+(4B+3C) \end{align*}

Comparing coefficients gives

A= 2,3A+B= 0,4B+3C= −15\begin{align*} A=&\,2,\\ 3A+B=&\,0,\\ 4B+3C=&\,-15 \end{align*}

Hence

A=2,B=−6,C=3\boxed{\begin{gathered}A=2,\quad B=-6,\\C=3\end{gathered}}

and

 f(x)≡ 2x−6+3(2x+3)x2+3x+4\begin{align*} &\,f(x)\\ \equiv&\,2x-6+\frac{3(2x+3)}{x^2+3x+4} \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以使用多项式长除法。先求商 2x−62x-6，再把余数写成 C(2x+3)C(2x+3)。

答题过程

展开

Dividing 2x3−4x−152x^3-4x-15 by x2+3x+4x^2+3x+4 gives the quotient 2x−62x-6 and remainder

6x+9=3(2x+3)6x+9=3(2x+3)

Therefore

 f(x)≡ 2x−6+3(2x+3)x2+3x+4\begin{align*} &\,f(x)\\ \equiv&\,2x-6+\frac{3(2x+3)}{x^2+3x+4} \end{align*}

so

A=2,B=−6,C=3\boxed{\begin{gathered}A=2,\quad B=-6,\\C=3\end{gathered}}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的分解式。最后一项的分子正好是分母的导数，因此积分为对数；代入上下限后用对数律整理成题目指定形式。

答题过程

展开

From part (a),

 ∫f(x) dx= x2−6x +3ln⁡(x2+3x+4)\begin{align*} &\,\int f(x)\,\mathrm{d}x\\ =&\,x^2-6x\\ &\,\hspace{2pt}+3\ln(x^2+3x+4) \end{align*}

Therefore

 ∫35f(x) dx= [x2−6x +3ln⁡(x2+3x+4)]35= −5+3ln⁡44 +9−3ln⁡22= 4+3ln⁡2= 4+ln⁡8\begin{align*} &\,\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\Big[x^2-6x\\ &\,\hspace{2pt}+3\ln(x^2+3x+4)\Big]_3^5\\ =&\,-5+3\ln44\\ &\,\hspace{2pt}+9-3\ln22\\ =&\,4+3\ln2\\ =&\,4+\ln8 \end{align*}

Hence

4+ln⁡8\boxed{4+\ln8}