题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

f(x)=\frac{2x^3-4x-15}{x^2+3x+4}

(a) Show that

f(x)\equiv Ax+B+\frac{C(2x+3)}{x^2+3x+4}

where $A$ , $B$ and $C$ are integers to be found.

(4)

(b) Hence, find

\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x

giving your answer in the form $p+\ln q$ , where $p$ and $q$ are integers.

(5)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

f(x)=\frac{2x^3-4x-15}{x^2+3x+4}

(a) 证明

f(x)\equiv Ax+B+\frac{C(2x+3)}{x^2+3x+4}

其中 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是需要求出的整数。

(b) 由此求

\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x

并把答案写成 $p+\ln q$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

两边乘以分母并比较同次幂系数，依次求出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 。

答题过程

展开

Multiplying by $x^2+3x+4$ gives

2x^3-4x-15 =(Ax+B)(x^2+3x+4)+C(2x+3)

Expanding the right-hand side,

\begin{align*} 2x^3-4x-15=&\,Ax^3+(3A+B)x^2 \\ &\,+(4A+3B+2C)x+(4B+3C) \end{align*}

Comparing coefficients gives

A=2,qquad 3A+B=0,qquad 4B+3C=-15

Hence

\boxed{A=2,\quad B=-6,\quad C=3}

and

f(x)\equiv2x-6+ rac{3(2x+3)}{x^2+3x+4}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受多项式长除法。先求商 $2x-6$ ，再把余数写成 $C(2x+3)$ 。

答题过程

展开

Dividing $2x^3-4x-15$ by $x^2+3x+4$ gives the quotient $2x-6$ and remainder

6x+9=3(2x+3)

Therefore

f(x)\equiv2x-6+ rac{3(2x+3)}{x^2+3x+4}

\boxed{A=2,\quad B=-6,\quad C=3}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的分解式。最后一项的分子正好是分母的导数，因此积分为对数；代入上下限后用对数律整理成题目指定形式。

答题过程

展开

From part (a),

\int f(x)\,\mathrm{d}x =x^2-6x+3\ln(x^2+3x+4)

Therefore

\begin{align*} \int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x =&\,\Big[x^2-6x+3\ln(x^2+3x+4)\Big]_3^5 \\ =&\,-5+3\ln44+9-3\ln22 \\ =&\,4+3\ln2 \\ =&\,4+\ln8 \end{align*}

Hence

\boxed{4+\ln8}

IAL 2022 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程