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IAL 2022 Oct Q2

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

The functions ff and gg are defined by

f(x)=5−43x+2x≥0f(x)=5-\frac{4}{3x+2}\qquad x\ge 0 g(x)=∣4sin⁡(x3+π6)∣x∈Rg(x)=\bigg|4\sin\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\bigg)\bigg|\qquad x\in\mathbb{R}

(a) Find the range of ff

(2)

(b) (i) Find f−1(x)f^{-1}(x)

(ii) Write down the domain of f−1f^{-1}

(3)

(c) Find fg(−π)fg(-\pi)

(2)
题目中文翻译

函数 ff 和 gg 定义为

f(x)=5−43x+2x≥0f(x)=5-\frac{4}{3x+2}\qquad x\ge 0 g(x)=∣4sin⁡(x3+π6)∣x∈Rg(x)=\bigg|4\sin\bigg(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\bigg)\bigg|\qquad x\in\mathbb{R}

(a) 求 ff 的值域。

(b) (i) 求 f−1(x)f^{-1}(x)。

(ii) 写出 f−1f^{-1} 的定义域。

(c) 求 fg(−π)fg(-\pi)。

解答

(a)

解法一

思路

展开

定义域为 x≥0x\geq0。在左端点取得最小值 33；当 xx 增大时，分式项趋近于 00 但不等于 00，所以函数值趋近于 55 但取不到 55。

答题过程

展开

When x=0x=0,

f(0)=5−42=3f(0)=5-\frac42=3

For x≥0x\geq0, the term 4/(3x+2)4/(3x+2) is positive and decreases towards 00. Hence

3≤f(x)<5\boxed{3\leq f(x)<5}

(b)(i)

解法一

思路

展开

令 y=f(x)y=f(x)，把方程改写为以 xx 为主项，再交换变量。

答题过程

展开

Let

y=5−43x+2y=5-\frac{4}{3x+2}

Then

3x+2=45−y3x+2=\frac{4}{5-y}

so

x=13(45−y−2)x=\frac13\bigg(\frac{4}{5-y}-2\bigg)

Therefore

f−1(x)=13(45−x−2)\boxed{f^{-1}(x)=\frac13\bigg(\frac{4}{5-x}-2\bigg)}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

反函数的定义域就是原函数的值域，直接承接 (a)。

答题过程

展开

The domain of f−1f^{-1} is the range of ff. Hence

3≤x<5\boxed{3\leq x<5}

(c)

解法一

思路

展开

先计算内层函数 g(−π)g(-\pi)。必须保留题目中 gg 的最外层绝对值，因此内层结果是 22，再代入 ff。

答题过程

展开 g(−π)= ∣4sin⁡(−π3+π6)∣= ∣4sin⁡(−π6)∣= ∣−2∣=2\begin{align*} g(-\pi) =&\,\bigg|4\sin\bigg(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\bigg)\bigg| \\ =&\,\bigg|4\sin\bigg(-\frac{\pi}{6}\bigg)\bigg| \\ =&\,|-2|=2 \end{align*}

Therefore

fg(−π)=f(2)=5−48fg(-\pi)=f(2)=5-\frac{4}{8}

Hence

fg(−π)=92\boxed{fg(-\pi)=\frac92}