题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$ where

f(x)=(x-2)^2e^{3x}\qquad x\in\mathbb{R}

The curve has a maximum turning point at $A$ and a minimum turning point at $(2,0)$ .

(a) Use calculus to find the exact coordinates of $A$ .

(5)

Given that the equation $f(x)=k$ , where $k$ is a constant, has at least two distinct roots,

(b) state the range of possible values for $k$ .

(2)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

图 1 给出了部分曲线 $y=f(x)$ 的示意图，其中

f(x)=(x-2)^2e^{3x}\qquad x\in\mathbb{R}

该曲线在点 $A$ 处有一个极大转折点，在 $(2,0)$ 处有一个极小转折点。

(a) 用微积分求点 $A$ 的精确坐标。

已知方程 $f(x)=k$ （其中 $k$ 是常数）至少有两个不同的根。

(b) 写出 $k$ 的可能取值范围。

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用乘积法则求导并因式分解。两个驻点中 $(2,0)$ 已知为极小点，因此另一根给出极大点 $A$ 的横坐标。

答题过程

展开

Using the product rule,

\begin{align*} f'(x)=&\,2(x-2)e^{3x}+3(x-2)^2e^{3x} \\ =&\,e^{3x}(x-2)(3x-4) \end{align*}

At a turning point, $f'(x)=0$ . Since $e^{3x}>0$ ,

x=2 \quad\text{or}\quad x=\frac43

The point $(2,0)$ is the minimum, so $A$ has $x=4/3$ . Then

f\bigg(\frac43\bigg) =\bigg(-\frac23\bigg)^2e^4 =\frac49e^4

Therefore

\boxed{A=\bigg(\frac43,\frac49e^4\bigg)}

(b)

解法一

思路

展开

把 $f(x)=k$ 看成水平线 $y=k$ 与曲线的交点。要至少有两个不同交点， $k$ 必须严格高于极小值 $0$ ，并且不超过极大值 $4e^4/9$ 。

答题过程

展开

The curve has a local minimum value $0$ and a local maximum value $4e^4/9$ . Therefore the line $y=k$ has at least two distinct intersections when

\boxed{0<k\leq\frac49e^4}

IAL 2022 Oct Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程