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IAL 2022 Oct Q4

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

y=log⁡10(2x+1)y=\log_{10}(2x+1)

(a) Express xx in terms of yy.

(2)

(b) Hence, giving your answer in terms of xx, find

dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
(3)
题目中文翻译 y=log⁡10(2x+1)y=\log_{10}(2x+1)

(a) 用 yy 表示 xx。

(b) 由此用 xx 表示并求

dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

解答

(a)

解法一

思路

展开

把以 1010 为底的对数式改写成指数式，再把 xx 作为主项。

答题过程

展开 10y=2x+110^y=2x+1

Therefore

x=10y−12\boxed{x=\frac{10^y-1}{2}}

(b)

解法一

思路

展开

按照 Hence 的要求承接 (a)，先求 dx/dy\mathrm{d}x/\mathrm{d}y，再取倒数，并用 10y=2x+110^y=2x+1 把答案改写成 xx 的函数。

答题过程

展开

From part (a),

x=10y−12x=\frac{10^y-1}{2}

Therefore

dxdy=1210yln⁡10\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac12 10^y\ln 10

so

dydx=210yln⁡10\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2}{10^y\ln 10}

Since 10y=2x+110^y=2x+1,

dydx=2(2x+1)ln⁡10\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2}{(2x+1)\ln 10} }

解法二

思路

展开

官方评分资料另接受先使用换底公式，把常用对数写成自然对数，再直接使用链式法则。

答题过程

展开

Using the change-of-base formula,

y=ln⁡(2x+1)ln⁡10y=\frac{\ln(2x+1)}{\ln 10}

Differentiating,

dydx=2(2x+1)ln⁡10\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2}{(2x+1)\ln 10} }