题目

Problem

The profit made by a company, £ $P$ million, $t$ years after the company started trading, is modelled by the equation

P=\frac{4t-1}{10}+\frac34\ln\bigg[\frac{t+1}{(2t+1)^2}\bigg]

The graph of $P$ against $t$ is shown in Figure 2.

According to the model,

(a) show that exactly one year after it started trading, the company had made a loss of approximately £ $830\,000$

(2)

A manager of the company wants to know the value of $t$ for which $P=0$

(b) Show that this value of $t$ occurs in the interval $[6,7]$

(2)

t=\frac14+\frac{15}{8}\ln\bigg[\frac{(2t+1)^2}{t+1}\bigg]

(2)

(d) Using the iteration formula

t_{n+1}=\frac14+\frac{15}{8}\ln\bigg[\frac{(2t_n+1)^2}{t_n+1}\bigg]\text{ with }t_1=6

find the value of $t_2$ and the value of $t_6$ , giving your answers to 3 decimal places.

(3)

(e) Hence find, according to the model, how many months it takes in total, from when the company started trading, for it to make a profit.

(2)

题目中文翻译

某公司开始营业 $t$ 年后的利润为 $P$ 百万英镑，其模型方程为

P=\frac{4t-1}{10}+\frac34\ln\bigg[\frac{t+1}{(2t+1)^2}\bigg]

图 2 给出了 $P$ 关于 $t$ 的图像。

根据该模型，

(a) 证明公司在开业恰好一年后亏损约 £ $830\,000$ 。

一位经理想知道 $P=0$ 时的 $t$ 值。

(b) 证明该 $t$ 值位于区间 $[6,7]$ 内。

t=\frac14+\frac{15}{8}\ln\bigg[\frac{(2t+1)^2}{t+1}\bigg]

的形式。

(d) 使用迭代公式

t_{n+1}=\frac14+\frac{15}{8}\ln\bigg[\frac{(2t_n+1)^2}{t_n+1}\bigg]\text{，其中 }t_1=6

求 $t_2$ 和 $t_6$ 的值，答案精确到小数点后 3 位。

(e) 由此根据模型求公司从开始营业起到开始盈利总共用了多少个月。

解答

(a)

解法一

思路

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把 $t=1$ 代入模型。所得 $P$ 为负，表示亏损；再把“百万英镑”换算成英镑。

答题过程

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Substituting $t=1$ ,

P=\frac3{10}+\frac34\ln\bigg(\frac29\bigg) =-0.828\ldots

Therefore the company made a loss of approximately

0.828\text{ million pounds} =\boxed{\text{£}830\,000}

(b)

解法一

思路

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计算区间两端的函数值。连续函数在两端异号，因此区间内存在根。

答题过程

展开

P(6)=-0.08799\ldots<0

and

P(7)=0.1975\ldots>0

Since $P$ is continuous on $[6,7]$ , there is a root in

\boxed{[6,7]}

(c)

解法一

思路

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令 $P=0$ ，把含 $t$ 的一次式作为主项。最后使用 $-\ln A=\ln(1/A)$ 把对数内的分式倒置，得到题目指定形式。

答题过程

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Setting $P=0$ ,

\frac{4t-1}{10} =-\frac34\ln\bigg[\frac{t+1}{(2t+1)^2}\bigg]

Therefore

t=\frac14- rac{15}{8} \ln\bigg[\frac{t+1}{(2t+1)^2}\bigg]

Using $-\ln A=\ln(1/A)$ ,

\boxed{ t=\frac14+ rac{15}{8} \ln\bigg[\frac{(2t+1)^2}{t+1}\bigg] }

as required.

(d)

解法一

思路

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从 $t_1=6$ 开始反复代入给定迭代式，分别读取第二项与第六项。

答题过程

展开

t_2=\frac14+\frac{15}{8}\ln\bigg(\frac{13^2}{7}\bigg) =6.219978\ldots

Continuing the iteration,

$n$	$t_n$
1	$6.000$
2	$6.220$
3	$6.287$
4	$6.307$
5	$6.312$
6	$6.314$

Hence

\boxed{t_2=6.220,\quad t_6=6.314}

(e)

解法一

思路

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承接 (d)，把约 $6.314$ 年乘以 $12$ 换算为月份。公司要在越过盈亏平衡点后才开始盈利，因此取到第 $76$ 个月。

答题过程

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Using part (d),

6.314\times12=75.768

Therefore it takes

\boxed{76\text{ months}}

for the company to make a profit.

IAL 2022 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程