题目

Problem

y=\frac{2+3\sin x}{\cos x+\sin x}

Show that

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a\tan x+b\sec x+c}{\sec x+2\sin x}

where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(6)

题目中文翻译

y=\frac{2+3\sin x}{\cos x+\sin x}

证明

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a\tan x+b\sec x+c}{\sec x+2\sin x}

其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是需要求出的整数。

解答

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先用商法则求导。展开分子与分母后使用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 化简，最后把分子、分母同乘 $\sec x$ ，得到题目指定形式。

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Using the quotient rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{(\cos x+\sin x)(3\cos x)} {(\cos x+\sin x)^2} \\ &\,-\frac{(2+3\sin x)(-\sin x+\cos x)} {(\cos x+\sin x)^2} \end{align*}

Expanding the numerator,

\begin{align*} N=&\,3\cos^2x+3\sin x\cos x \\ &\,+2\sin x+3\sin^2x-2\cos x \\ &\,-3\sin x\cos x \\ =&\,3+2\sin x-2\cos x \end{align*}

Also,

(\cos x+\sin x)^2 =1+2\sin x\cos x

Therefore

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{3+2\sin x-2\cos x} {1+2\sin x\cos x}

Multiplying the numerator and denominator by $\sec x$ ,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2\tan x+3\sec x-2} {\sec x+2\sin x}

Hence

\boxed{a=2,\quad b=3,\quad c=-2}