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IAL 2022 Oct Q8

A Level / Edexcel / P3

IAL 2022 Oct Paper · Question 8

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Express 8sin⁡x−15cos⁡x8\sin x-15\cos x in the form Rsin⁡(x−α)R\sin(x-\alpha), where R>0R>0 and 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}.

Give the exact value of RR, and give the value of α\alpha, in radians, to 4 significant figures.

(3)
f(x)=1541+16sin⁡x−30cos⁡xx>0f(x)=\frac{15}{41+16\sin x-30\cos x}\qquad x>0

(b) Find

(i) the minimum value of f(x)f(x)

(ii) the smallest value of xx at which this minimum value occurs.

(4)

(c) State the yy coordinate of the minimum points on the curve with equation

y=2f(x)−5x>0y=2f(x)-5\qquad x>0
(1)

(d) State the smallest value of xx at which a maximum point occurs for the curve with equation

y=−f(2x)x>0y=-f(2x)\qquad x>0
(1)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 将 8sin⁡x−15cos⁡x8\sin x-15\cos x 写成 Rsin⁡(x−α)R\sin(x-\alpha) 的形式，其中 R>0R>0 且 0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}。

写出 RR 的精确值，并将 α\alpha 的值（弧度制）保留 4 位有效数字。

f(x)=1541+16sin⁡x−30cos⁡xx>0f(x)=\frac{15}{41+16\sin x-30\cos x}\qquad x>0

(b) 求

(i) f(x)f(x) 的最小值；

(ii) 使该最小值出现的最小 xx 值。

(c) 写出曲线

y=2f(x)−5x>0y=2f(x)-5\qquad x>0

上极小点的 yy 坐标。

(d) 写出曲线

y=−f(2x)x>0y=-f(2x)\qquad x>0

上极大点首次出现时的最小 xx 值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

展开 Rsin⁡(x−α)R\sin(x-\alpha) 并比较 sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 的系数，得到 Rcos⁡α=8R\cos\alpha=8、Rsin⁡α=15R\sin\alpha=15。

答题过程

展开 Rsin⁡(x−α)=Rcos⁡αsin⁡x−Rsin⁡αcos⁡xR\sin(x-\alpha) =R\cos\alpha\sin x-R\sin\alpha\cos x

Therefore

Rcos⁡α=8,qquadRsin⁡α=15R\cos\alpha=8,qquad R\sin\alpha=15

Hence

R=82+152=17R=\sqrt{8^2+15^2}=17

and

α=tan⁡−1(158)=1.0808…\alpha=\tan^{-1}\bigg(\frac{15}{8}\bigg) =1.0808\ldots

Thus

R=17,α=1.081\boxed{R=17,\quad\alpha=1.081}

where α\alpha is given to four significant figures.

(b)(i)

解法一

思路

展开

用 (a) 把分母写成 41+34sin⁡(x−α)41+34\sin(x-\alpha)。分子为正常数，因此分母最大时 f(x)f(x) 最小。

答题过程

展开

From part (a),

f(x)=1541+34sin⁡(x−α)f(x)=\frac{15}{41+34\sin(x-\alpha)}

The denominator has maximum value 41+34=7541+34=75. Therefore

fmin⁡=1575=15\boxed{f_{\min}=\frac{15}{75}=\frac15}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

最小值出现于 sin⁡(x−α)=1\sin(x-\alpha)=1。取满足 x>0x>0 的最小角度。

答题过程

展开

For the smallest positive value,

x−α=π2x-\alpha=\frac{\pi}{2}

Therefore

x=π2+1.0808…=2.6516…x=\frac{\pi}{2}+1.0808\ldots =2.6516\ldots

Hence

x=2.65\boxed{x=2.65}

(c)

解法一

思路

展开

正的纵向伸缩和平移不改变极小值对应的位置，直接把 fmin⁡=1/5f_{\min}=1/5 代入变换式。

答题过程

展开 ymin⁡=2(15)−5y_{\min}=2\bigg(\frac15\bigg)-5

Hence

y=−235\boxed{y=-\frac{23}{5}}

(d)

解法一

思路

展开

负号把 ff 的极小点变为新曲线的极大点；把 (b)(ii) 的最小输入改成 2x2x，再除以 22。

答题过程

展开

For a maximum of −f(2x)-f(2x),

2x=2.6516…2x=2.6516\ldots

Therefore

x=1.33\boxed{x=1.33}