函数 $f$ 和 $g$ 定义为

(a) 写出 $f$ 的值域。

(b) 求 $fg(1.5)$ 的值。

(c) 求 $g^{-1}$。

因为 $x\ge0$，所以 $x^2\ge0$。因此 $9-x^2$ 的最大值是 $9$，并且当 $x$ 继续增大时，函数值可以无限减小。

We have

Since

we have

Also, as $x$ increases, $9-x^2$ can become arbitrarily negative.

Therefore the range of $f$ is

Equivalently,

$fg(1.5)$ 表示先把 $1.5$ 代入 $g$，再把结果代入 $f$。

First find $g(1.5)$:

Therefore

Now

Hence

令 $y=g(x)$，然后把 $x$ 表示成 $y$ 的函数。最后交换变量名，得到 $g^{-1}(x)$。还要写出反函数的定义域，也就是原函数 $g$ 的值域。

Let

Multiply both sides by $2x+1$:

So

Hence

Therefore

Now swap $x$ and $y$:

Since $g(x)=\frac{3}{2x+1}$ with $x\ge0$, its maximum value is $3$ when $x=0$, and it approaches $0$ but never equals $0$.

So the domain of $g^{-1}$ is

Thus