题目

Problem

The line $l$ in Figure 1 shows a linear relationship between $\log_{10}y$ and $x$ .

The line passes through the points $(0,1.5)$ and $(-4.8,0)$ as shown.

(a) Write down an equation for $l$ .

(2)

(b) Hence, or otherwise, express $y$ in the form $kb^x$ , giving the values of the constants $k$ and $b$ to 3 significant figures.

(3)

题目中文翻译

图 1 中的直线 $l$ 表示 $\log_{10}y$ 与 $x$ 之间的线性关系。

该直线经过图中所示的点 $(0,1.5)$ 和 $(-4.8,0)$ 。

(a) 写出直线 $l$ 的方程。

(b) 由此，或用其他方法，将 $y$ 写成 $kb^x$ 的形式，并将常数 $k$ 与 $b$ 的值都保留 3 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直线表示 $\log_{10}y$ 与 $x$ 的关系。用两点 $(0,1.5)$ 和 $(-4.8,0)$ 求斜率，再写成直线方程。

答题过程

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The line passes through

(0,1.5) \qquad\text{and}\qquad (-4.8,0).

Its gradient is

\begin{align*} m =&\,\frac{1.5-0}{0-(-4.8)} \\[2mm] =&\,\frac{1.5}{4.8} \\[2mm] =&\,\frac{15}{48} \\[2mm] =&\,\frac{5}{16}. \end{align*}

The vertical intercept is $1.5$ , so the equation is

\boxed{\log_{10}y=\frac{5}{16}x+1.5}.

(b)

解法一

思路

展开

从 (a) 的方程开始，两边以 $10$ 为底取指数。然后用指数法则把 $10^{\frac{5}{16}x+1.5}$ 拆成 $10^{1.5}\big(10^{5/16}\big)^x$ ，就能读出 $k$ 和 $b$ 。

答题过程

展开

From part (a),

\log_{10}y=\frac{5}{16}x+1.5.

Therefore

y=10^{\frac{5}{16}x+1.5}.

Use the index law $10^{a+b}=10^a10^b$ :

\begin{align*} y =&\,10^{1.5}\cdot10^{\frac{5}{16}x} \\[2mm] =&\,10^{1.5}\big(10^{5/16}\big)^x. \end{align*}

k=10^{1.5}, \qquad b=10^{5/16}.

To 3 significant figures,

10^{1.5}=31.6, \qquad 10^{5/16}=2.05.

Hence

\boxed{y=31.6(2.05)^x}.

解法二

思路

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从题目要求的形式 $y=kb^x$ 出发，两边取常用对数。所得直线的截距是 $\log_{10}k$ ，斜率是 $\log_{10}b$ ，可直接与 (a) 比较。

答题过程

展开

Suppose

y=kb^x.

Taking logarithms to base $10$ gives

\begin{align*} \log_{10}y =&\,\log_{10}\big(kb^x\big) \\[2mm] =&\,\log_{10}k+x\log_{10}b. \end{align*}

From part (a),

\log_{10}y=\frac{5}{16}x+1.5.

Comparing the intercepts and gradients,

\log_{10}k=1.5, \qquad \log_{10}b=\frac{5}{16}.

Therefore

k=10^{1.5}=31.6\ldots, \qquad b=10^{5/16}=2.05\ldots.

Hence, to 3 significant figures,

\boxed{y=31.6(2.05)^x}.

IAL 2023 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程