题目

Problem

The function $f$ is defined by

f(x)=\frac{2x^4+15x^3+35x^2+21x-4}{(x+3)^2} \qquad x\in\mathbb R,\quad x>-3

(a) Find the values of the constants $A$ , $B$ , $C$ and $D$ such that

Ax^2+Bx+C+\frac{D}{(x+3)^2}

(4)

(b) Hence find

\int f(x)\,\mathrm{d}x

(3)

题目中文翻译

函数 $f$ 定义为

f(x)=\frac{2x^4+15x^3+35x^2+21x-4}{(x+3)^2} \qquad x\in\mathbb R,\quad x>-3

(a) 求常数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值，使得

Ax^2+Bx+C+\frac{D}{(x+3)^2}

(b) 由此求

\int f(x)\,\mathrm{d}x

解答

(a)

解法一

思路

展开

题目要求把分式改写成一个二次多项式加上 $\frac{D}{(x+3)^2}$ 。最直接的方法是把目标形式两边同乘 $(x+3)^2$ ，然后比较多项式系数。

答题过程

展开

We want

\frac{2x^4+15x^3+35x^2+21x-4}{(x+3)^2} =Ax^2+Bx+C+\frac{D}{(x+3)^2}.

Multiply both sides by $(x+3)^2$ :

2x^4+15x^3+35x^2+21x-4 =(Ax^2+Bx+C)(x+3)^2+D.

Since

(x+3)^2=x^2+6x+9,

we have

\begin{align*} (Ax^2+Bx+C)(x+3)^2 =&\,(Ax^2+Bx+C)(x^2+6x+9) \\[2mm] =&\,Ax^4+(6A+B)x^3 \\[2mm] &\,\hspace{4pt}+(9A+6B+C)x^2 \\[2mm] &\,\hspace{6pt}+(9B+6C)x+9C. \end{align*}

\begin{align*} 2x^4+15x^3+35x^2+21x-4 =&\,Ax^4+(6A+B)x^3 \\[2mm] &\,\hspace{4pt}+(9A+6B+C)x^2 \\[2mm] &\,\hspace{6pt}+(9B+6C)x+(9C+D). \end{align*}

Compare coefficients:

A=2.

Then

6A+B=15 \quad\Rightarrow\quad 12+B=15 \quad\Rightarrow\quad B=3.

Next,

9A+6B+C=35 \quad\Rightarrow\quad 18+18+C=35 \quad\Rightarrow\quad C=-1.

Finally,

9C+D=-4 \quad\Rightarrow\quad -9+D=-4 \quad\Rightarrow\quad D=5.

Therefore

\boxed{A=2,\quad B=3,\quad C=-1,\quad D=5}.

Hence

\boxed{ f(x)=2x^2+3x-1+\frac{5}{(x+3)^2} }.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受多项式长除法。用分母 $x^2+6x+9$ 依次消去四次项、三次项和二次项，便可得到二次商式与常数余数。

答题过程

展开

Since

(x+3)^2=x^2+6x+9,

divide the numerator by $x^2+6x+9$ .

The first term of the quotient is $2x^2$ . Subtracting $2x^2(x^2+6x+9)$ leaves

3x^3+17x^2+21x-4.

The next term is $3x$ . Subtracting $3x(x^2+6x+9)$ leaves

-x^2-6x-4.

The next term is $-1$ . Subtracting $-(x^2+6x+9)$ leaves the remainder

5.

Therefore the quotient is $2x^2+3x-1$ , and

\boxed{ f(x)=2x^2+3x-1+\frac{5}{(x+3)^2} }.

Thus

\boxed{A=2,\quad B=3,\quad C=-1,\quad D=5}.

(b)

解法一

思路

展开

直接使用 (a) 的分解结果逐项积分。最后一项是 $5(x+3)^{-2}$ ，积分时要变成 $-\frac{5}{x+3}$ 。

答题过程

展开

From part (a),

f(x)=2x^2+3x-1+\frac{5}{(x+3)^2}.

Therefore

\begin{align*} \int f(x)\,\mathrm{d}x =&\,\int\big(2x^2+3x-1+5(x+3)^{-2}\big)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-x +5\int (x+3)^{-2}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Now

\int (x+3)^{-2}\,\mathrm{d}x =-(x+3)^{-1}.

\boxed{ \int f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-x-\frac{5}{x+3}+C }.

IAL 2023 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程