题目

Problem

The curve $C$ has equation

x=3\tan\big(y-\frac{\pi}{6}\big)

x\in\mathbb R,\qquad -\dfrac{\pi}{3}<y<\dfrac{2\pi}{3}

(a) Show that

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a}{x^2+b}

where $a$ and $b$ are integers to be found.

(4)

The point $P$ with $y$ coordinate $\dfrac{\pi}{3}$ lies on $C$ .

Given that the tangent to $C$ at $P$ crosses the $x$ -axis at the point $Q$ .

(b) find, in simplest form, the exact $x$ coordinate of $Q$ .

(5)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

x=3\tan\big(y-\frac{\pi}{6}\big)

其中 $x\in\mathbb R$ ，且 $-\dfrac{\pi}{3}<y<\dfrac{2\pi}{3}$ 。

(a) 证明

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a}{x^2+b}

其中 $a$ 和 $b$ 是需要求出的整数。

$y$ 坐标为 $\dfrac{\pi}{3}$ 的点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $Q$ 。

(b) 求点 $Q$ 的 $x$ 坐标的精确值，并写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

题目给的是 $x$ 关于 $y$ 的方程，所以先对 $y$ 求导得到 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ，再取倒数得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。最后用原方程把 $\tan\big(y-\frac{\pi}{6}\big)$ 换成 $\frac{x}{3}$ ，这样答案就只含 $x$ 。

答题过程

展开

We have

x=3\tan\big(y-\frac{\pi}{6}\big).

Differentiate with respect to $y$ :

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =3\sec^2\big(y-\frac{\pi}{6}\big).

Therefore

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{3\sec^2\big(y-\frac{\pi}{6}\big)}.

Use

\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.

Since

\tan\big(y-\frac{\pi}{6}\big)=\frac{x}{3},

we get

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{3\big(1+\big(\frac{x}{3}\big)^2\big)} \\[2mm] =&\,\frac{1}{3\big(\frac{x^2+9}{9}\big)} \\[2mm] =&\,\frac{3}{x^2+9}. \end{align*}

Hence

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3}{x^2+9}}.

\boxed{a=3,\qquad b=9}.

解法二

思路

展开

也可以先把原式写成 $y$ 关于 $x$ 的反正切函数，再直接使用反正切的导数。

答题过程

展开

From

x=3\tan\bigg(y-\frac{\pi}{6}\bigg),

we have

\tan\bigg(y-\frac{\pi}{6}\bigg)=\frac{x}{3}.

The stated range

-\frac{\pi}{3}<y<\frac{2\pi}{3}

gives

-\frac{\pi}{2}<y-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2},

so the inverse tangent gives

y=\frac{\pi}{6}+\arctan\bigg(\frac{x}{3}\bigg).

Differentiate with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{1+\big(\frac{x}{3}\big)^2}\cdot\frac13 \\[2mm] =&\,\frac{3}{x^2+9}. \end{align*}

Hence

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3}{x^2+9}}, \qquad \boxed{a=3,\quad b=9}.

(b)

解法一

思路

展开

先用 $P$ 的 $y$ 坐标代回曲线方程，求出 $P$ 的 $x$ 坐标。然后用 (a) 中的导数求切线斜率，写出切线方程。点 $Q$ 在 $x$ 轴上，所以令 $y=0$ ，解出对应的 $x$ 坐标。

答题过程

展开

At $P$ ,

y=\frac{\pi}{3}.

Substitute this into the curve equation:

\begin{align*} x =&\,3\tan\big(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\big) \\[2mm] =&\,3\tan\frac{\pi}{6} \\[2mm] =&\,3\cdot\frac{1}{\sqrt3} \\[2mm] =&\,\sqrt3. \end{align*}

P=\big(\sqrt3,\frac{\pi}{3}\big).

From part (a),

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{3}{x^2+9}.

At $x=\sqrt3$ ,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{3}{(\sqrt3)^2+9} =\frac{3}{12} =\frac14.

The tangent at $P$ is therefore

y-\frac{\pi}{3} =\frac14(x-\sqrt3).

At $Q$ , the tangent crosses the $x$ -axis, so $y=0$ . Hence

0-\frac{\pi}{3} =\frac14(x-\sqrt3).

Multiply by $4$ :

-\frac{4\pi}{3}=x-\sqrt3.

Therefore

\boxed{x=\sqrt3-\frac{4\pi}{3}}.

P3 2023 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程