题目

Problem

Find, in simplest form,

\int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x

(5)

题目中文翻译

求

\int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x

的最简形式。

解答

展开

先展开平方，再分别处理三类项： $\sin x\cos x$ 可以用 $\sin2x=2\sin x\cos x$ ，而 $\cos^2x$ 和 $\sin^2x$ 要用 double angle 公式化成含 $\cos2x$ 的形式，之后就能直接积分。

展开

First expand the square:

\begin{align*} (2\cos x-\sin x)^2 =&\,4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x. \end{align*}

\int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =\int\big(4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x\big)\,\mathrm{d}x.

Use

\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}, \qquad \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},

and

\sin x\cos x=\frac12\sin2x.

Then

\begin{align*} 4\cos^2x-4\sin x\cos x+\sin^2x =&\,4\big(\frac{1+\cos2x}{2}\big) -4\big(\frac12\sin2x\big) \\[2mm] &\,\hspace{4pt}+\frac{1-\cos2x}{2} \\[2mm] =&\,2+2\cos2x-2\sin2x +\frac12-\frac12\cos2x \\[2mm] =&\,\frac52+\frac32\cos2x-2\sin2x. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =&\,\int\big(\frac52+\frac32\cos2x-2\sin2x\big)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac52x+\frac32\cdot\frac12\sin2x +\cos2x+C. \end{align*}

Hence

\boxed{ \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =\frac52x+\frac34\sin2x+\cos2x+C }.

展开

先把 $2\cos x-\sin x$ 写成精确的 $R\cos(x+\alpha)$ 形式，再使用降幂公式积分。最后利用 $\sin2\alpha$ 与 $\cos2\alpha$ 的精确值展开答案。

展开

Write

2\cos x-\sin x=\sqrt5\cos(x+\alpha),

where

\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt5}, \qquad \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.

Then

\begin{align*} \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =&\,5\int\cos^2(x+\alpha)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac52\int\big[1+\cos(2x+2\alpha)\big]\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac52x+\frac54\sin(2x+2\alpha)+C. \end{align*}

Also,

\cos2\alpha =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =\frac35

and

\sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha =\frac45.

Therefore

\begin{align*} \sin(2x+2\alpha) =&\,\sin2x\cos2\alpha+\cos2x\sin2\alpha \\[2mm] =&\,\frac35\sin2x+\frac45\cos2x. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \int(2\cos x-\sin x)^2\,\mathrm{d}x =&\,\frac52x +\frac54\bigg(\frac35\sin2x+\frac45\cos2x\bigg)+C \\[2mm] =&\,\boxed{\frac52x+\frac34\sin2x+\cos2x+C}. \end{align*}