图 3 给出了曲线 $C$ 的一部分示意图，其方程为

(a) 求

并把答案写成最简形式。

$x$ 坐标为 $\alpha$ 的点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线经过原点，如图 3 所示。

(b) 证明 $x=\alpha$ 是方程

的一个解。

(c) 由此证明 $\alpha$ 位于 $1$ 与 $2$ 之间。

(d) 证明 (b) 中的方程可写成

的形式。

利用迭代公式

且 $x_1=1$，求 $\alpha$ 的近似值。

(e) 用该迭代公式求下列值（精确到小数点后 4 位）：

(i) $x_3$

(ii) $\alpha$

把 $y=\sqrt{3+4e^{x^2}}$ 写成 $\left(3+4e^{x^2}\right)^{1/2}$，然后用链式法则。最后把负指数幂写回根式分母，使答案最简。

We have

Differentiate using the chain rule:

Therefore

点 $P$ 的坐标是 $\left(\alpha,\sqrt{3+4e^{\alpha^2}}\right)$。因为切线经过原点，所以切线斜率也等于从原点到 $P$ 的直线斜率。把这个斜率与 (a) 中在 $x=\alpha$ 处的导数相等，再整理即可。

At $P$,

Since the tangent at $P$ passes through the origin, its gradient is

From part (a), the gradient of the curve at $x=\alpha$ is

Equate these two gradients:

Multiply both sides by

This gives

Rearrange:

Therefore $x=\alpha$ is a solution of

令 $f(x)=4x^2e^{x^2}-4e^{x^2}-3$。计算 $f(1)$ 和 $f(2)$，若两者异号，并且 $f$ 连续，就能说明方程在 $1$ 和 $2$ 之间有根。

Let

Then

Also,

Since $e^4>1$,

So

The function $f$ is continuous, so there is a root of $f(x)=0$ between $1$ and $2$.

Hence

从 (b) 的方程出发，把含 $x^2$ 的项单独放一边。两边除以 $e^{x^2}$ 后会出现 $e^{-x^2}$。由于 (c) 已知所需根在 $1$ 和 $2$ 之间，所以取正平方根。

Starting from

we have

Divide both sides by $e^{x^2}$:

So

Since the required root lies between $1$ and $2$, we take the positive square root:

Hence the equation can be written in the form

按照题目给出的迭代公式，从 $x_1=1$ 开始依次计算 $x_2,x_3,\ldots$。要找 $\alpha$，继续迭代到数值稳定到 4 位小数即可。

The iteration formula is

First,

Then

Therefore, to 4 decimal places,

Continuing the iteration gives

The values converge to

Hence, to 4 decimal places,