题目

Problem

g(x)=x^6+2x-1000

(a) Show that $g(x)=0$ has a root $\alpha$ in the interval $[3,4]$

(2)

Using the iteration formula

x_{n+1}=\sqrt[6]{1000-2x_n}\qquad \text{with }x_1=3

(b) (i) find, to 4 decimal places, the value of $x_2$

(ii) find, by repeated iteration, the value of $\alpha$ .

Give your answer to 4 decimal places.

(3)

题目中文翻译

g(x)=x^6+2x-1000

(a) 证明 $g(x)=0$ 在区间 $[3,4]$ 内有一个根 $\alpha$ 。

使用迭代公式

x_{n+1}=\sqrt[6]{1000-2x_n}\qquad \text{其中 }x_1=3

(b) (i) 求 $x_2$ 的值，精确到小数点后 4 位。

(ii) 用重复迭代求 $\alpha$ 的值，答案精确到小数点后 4 位。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别计算区间两个端点处的函数值。由于 $g$ 是多项式，所以在实数范围内连续；若两个端点处的函数值异号，便可由介值定理说明区间内至少有一个根。

答题过程

展开

Since $g$ is a polynomial, it is continuous on $[3,4]$ .

\begin{align*} g(3)=&\,3^6+2(3)-1000=-265,\\[4mm] g(4)=&\,4^6+2(4)-1000=3104. \end{align*}

Therefore $g(3)<0$ and $g(4)>0$ . Since there is a change of sign and $g$ is continuous, $g(x)=0$ has a root $\alpha$ in $[3,4]$ .

(b)(i)

解法一

思路

展开

把初始值 $x_1=3$ 直接代入给定的迭代公式，并按题意保留小数点后四位。

答题过程

展开

\begin{align*} x_2=&\,\sqrt[6]{1000-2x_1}\\[4mm] =&\,\sqrt[6]{1000-2(3)}\\[4mm] =&\,3.159107\ldots \end{align*}

Hence, to $4$ decimal places,

\boxed{x_2=3.1591}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

继续使用同一个迭代公式，直到连续两次迭代所得数值在所需精度下保持不变。

答题过程

展开

Repeated use of

x_{n+1}=\sqrt[6]{1000-2x_n}

gives

\begin{align*} x_2=&\,3.159107447\ldots,\\[4mm] x_3=&\,3.158938868\ldots,\\[4mm] x_4=&\,3.158939047\ldots,\\[4mm] x_5=&\,3.158939046\ldots. \end{align*}

The values have converged to the required accuracy. Therefore,

\boxed{\alpha=3.1589}

to $4$ decimal places.

IAL 2023 May Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程