题目

Problem

Figure 4 shows a sketch of the curve with equation

x=\frac{2y^2+6}{3y-3}

(a) Find

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}

giving your answer as a fully simplified fraction.

(4)

The tangents at points $P$ and $Q$ on the curve are parallel to the $y$ -axis, as shown in Figure 4.

(b) Use the answer to part (a) to find the equations of these two tangents.

(4)

题目中文翻译

图 4 给出了曲线

x=\frac{2y^2+6}{3y-3}

的示意图。

(a) 求

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}

并把答案写成完全化简后的分式。

曲线上 $P$ 、 $Q$ 两点处的切线如图 4 所示，都与 $y$ 轴平行。

(b) 利用 (a) 的结果，求这两条切线的方程。

解答

(a)

解法一

思路

展开

$x$ 是 $y$ 的函数，所以对 $y$ 求导。这里是分式函数，用商法则；最后要把分子因式分解，并把分母写成 $3(y-1)^2$ 的形式。

答题过程

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We have

x=\frac{2y^2+6}{3y-3}.

Using the quotient rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,\frac{(4y)(3y-3)-3(2y^2+6)} {(3y-3)^2} \\[2mm] =&\,\frac{12y^2-12y-6y^2-18} {(3y-3)^2} \\[2mm] =&\,\frac{6y^2-12y-18}{9(y-1)^2} \\[2mm] =&\,\frac{2(y^2-2y-3)}{3(y-1)^2} \\[2mm] =&\,\frac{2(y-3)(y+1)}{3(y-1)^2}. \end{align*}

Therefore

\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{2(y-3)(y+1)}{3(y-1)^2}}.

(b)

解法一

思路

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曲线写成 $x=f(y)$ 。若切线与 $y$ 轴平行，切线是竖直线，所以在 $x$ 关于 $y$ 的图像中要令 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0$ 。由 (a) 的分子求出 $y$ ，再代回原方程求对应的 $x$ ，竖直切线方程就是 $x=\text{常数}$ 。

答题过程

展开

For tangents parallel to the $y$ -axis, set

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0.

From part (a),

\frac{2(y-3)(y+1)}{3(y-1)^2}=0.

Since the denominator cannot be zero on the curve, the numerator must be zero:

2(y-3)(y+1)=0.

y=3 \qquad\text{or}\qquad y=-1.

When $y=3$ ,

x=\frac{2(3)^2+6}{3(3)-3} =\frac{24}{6} =4.

When $y=-1$ ,

x=\frac{2(-1)^2+6}{3(-1)-3} =\frac8{-6} =-\frac43.

Therefore the two tangents are

\boxed{x=4} \qquad\text{and}\qquad \boxed{x=-\frac43}.

P3 2023 May Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程