题目
Problem
Figure 2 shows a sketch of the graph y=f(x), where
f(x)=3∣x−2∣−10
The vertex of the graph is at point P, shown in Figure 2.
(a) Find the coordinates of P
(2)
(b) Find ff(0)
(2)
(c) Solve the inequality
3∣x−2∣−10<5x+10
(2)
(d) Solve the equation
f(∣x∣)=0
(3)
题目中文翻译
图 2 给出了图像 y=f(x) 的示意图，其中
f(x)=3∣x−2∣−10
图中的点 P 是该图像的顶点。
(a) 求点 P 的坐标。
(b) 求 ff(0)。
(c) 解不等式
3∣x−2∣−10<5x+10
(d) 解方程
f(∣x∣)=0
解答
(a)
解法一
思路
展开
f(x)=3∣x−2∣−10 是绝对值函数。顶点出现在绝对值内部为 0 的位置，也就是 x=2，再代入函数求 y 坐标。
答题过程
展开
The vertex occurs when
x−2=0.
So
x=2.
Then
f(2)=3∣2−2∣−10=−10.
Therefore
P=(2,−10).
(b)
解法一
思路
展开
ff(0) 表示 f(f(0))。先求 f(0)，再把这个结果作为输入，代回 f。
答题过程
展开
First find f(0):
f(0)=3∣0−2∣−10=6−10=−4.
Therefore
ff(0)=f(f(0))=f(−4).
Now
f(−4)=3∣−4−2∣−10=18−10=8.
Hence
ff(0)=8.
(c)
解法一
思路
展开
解绝对值不等式时，要按 x−2 的正负分段。分别在 x≥2 和 x<2 两个区间中去掉绝对值，再把得到的解与对应区间合并。
答题过程
展开
We solve
3∣x−2∣−10<5x+10.
For x≥2,
∣x−2∣=x−2.
So
3(x−2)−10<5x+10.
This gives
3x−16<5x+10.
Hence
x>−13.
Together with x≥2, this gives
x≥2.
For x<2,
∣x−2∣=2−x.
So
3(2−x)−10<5x+10.
This gives
−3x−4<5x+10.
Hence
x>−47.
Together with x<2, this gives
−47<x<2.
Combining the two intervals,
−47<x<2orx≥2.
Therefore
x>−47.
(d)
解法一
思路
展开
把 ∣x∣ 当作输入代入 f，得到 3∣x∣−2−10=0。先解出 ∣x∣−2=310，再判断哪些 ∣x∣ 的值可行。
答题过程
展开
We need to solve
f(∣x∣)=0.
Since
f(u)=3∣u−2∣−10,
we have
f(∣x∣)=3∣x∣−2−10.
So
3∣x∣−2−10=0.
Hence
∣x∣−2=310.
Therefore
∣x∣−2=310or∣x∣−2=−310.
So
∣x∣=316or∣x∣=−34.
But ∣x∣ cannot be negative, so
∣x∣=316.
Therefore
x=316orx=−316.
