图 3 给出了曲线 $C$ 的示意图，其方程为 $y=f(x)$，其中

(a) 证明

其中 $A$ 是需要求出的常数。

(b) 由此求曲线 $C$ 上两个驻点的精确坐标。

函数 $g$ 定义为

(c) 求曲线 $y=g(x)$ 上极大驻点的坐标。

$f(x)$ 是两个函数的乘积：$(2x+1)^3$ 和 $e^{-4x}$，所以用乘积法则求导。求导后把共同因子 $(2x+1)^2e^{-4x}$ 提出来，再整理成题目给出的形式。

We have

Using the product rule,

Therefore

where

驻点满足 $f'(x)=0$。由于 $e^{-4x}$ 永远不为 0，所以只需要令代数因子为 0。求出两个 $x$ 值后，代回原函数得到对应的 $y$ 坐标。

Stationary points occur when

From part (a),

Since $2\ne0$ and $e^{-4x}\ne0$,

So

Hence

When $x=-\frac12$,

When $x=\frac14$,

Therefore the two stationary points are

$g(x)=8f(x-2)$ 表示把 $y=f(x)$ 向右平移 2 个单位，再把 $y$ 坐标乘以 8。原曲线的极大驻点是 $\bigl(\frac14,\frac{27}{8e}\bigr)$，所以直接变换这个点。

The maximum stationary point on $y=f(x)$ is

The function

shifts the graph of $y=f(x)$ 2 units to the right and multiplies all $y$-coordinates by 8.

So the $x$-coordinate becomes

and the $y$-coordinate becomes

Therefore the maximum stationary point on $y=g(x)$ is