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IAL 2023 Oct Q10

A Level / Edexcel / P3

IAL 2023 Oct Paper · Question 10

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

A curve CC has equation

x=sin⁡24y0≤y≤π8, 0≤x≤1x=\sin^2 4y\qquad 0\le y\le \frac{\pi}{8},\ 0\le x\le 1

The point PP with xx coordinate 14\dfrac14 lies on CC.

(a) Find the exact yy coordinate of PP

(2)

(b) Find

dxdy\frac{dx}{dy}
(2)

(c) Hence show that dydx\dfrac{dy}{dx} can be written in the form

dydx=1q+r(x+s)2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{q+r(x+s)^2}}

where qq, rr and ss are constants to be found.

(3)

Using the answer to part (c),

(d) (i) state the xx coordinate of the point where the value of dydx\dfrac{dy}{dx} is a minimum,

(ii) state the value of dydx\dfrac{dy}{dx} at this point.

(2)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

曲线 CC 的方程为

x=sin⁡24y0≤y≤π8, 0≤x≤1x=\sin^2 4y\qquad 0\le y\le \frac{\pi}{8},\ 0\le x\le 1

xx 坐标为 14\dfrac14 的点 PP 在曲线 CC 上。

(a) 求点 PP 的 yy 坐标的精确值。

(b) 求

dxdy\frac{dx}{dy}

(c) 由此证明 dydx\dfrac{dy}{dx} 可以写成

dydx=1q+r(x+s)2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{q+r(x+s)^2}}

的形式，其中 qq、rr 和 ss 是需要求出的常数。

利用 (c) 的结果，

(d) (i) 写出使 dydx\dfrac{dy}{dx} 取得最小值的点的 xx 坐标；

(ii) 写出该点处 dydx\dfrac{dy}{dx} 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 x=14x=\dfrac14 代入曲线方程。由于 0≤y≤π80\le y\le\dfrac{\pi}{8}，所以 0≤4y≤π20\le4y\le\dfrac{\pi}{2}，只需保留第一象限内的角。

答题过程

展开

At PP, x=14x=\dfrac14, so

sin⁡24y=14.\sin^2 4y=\frac14.

Since 0≤4y≤π20\le4y\le\dfrac{\pi}{2}, we have sin⁡4y≥0\sin4y\ge0. Hence,

sin⁡4y= 124y= π6y= π24.\begin{align*} \sin4y=&\,\frac12\\[4mm] 4y=&\,\frac{\pi}{6}\\[4mm] y=&\,\frac{\pi}{24}. \end{align*}

Therefore, the exact yy coordinate of PP is

π24.\boxed{\frac{\pi}{24}}.

(b)

解法一

思路

展开

把 x=sin⁡24yx=\sin^2 4y 看成复合函数，使用链式法则求关于 yy 的导数。

答题过程

展开

Using the chain rule,

dxdy= 2sin⁡4ycos⁡4y⋅4= 8sin⁡4ycos⁡4y.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,2\sin4y\cos4y\cdot4\\[4mm] =&\,\boxed{8\sin4y\cos4y}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受先把 yy 写成 xx 的函数。求出 dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 后，再利用互为倒数的关系得到 dxdy\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}。

答题过程

展开

Since 0≤4y≤π20\le4y\le\dfrac{\pi}{2},

y=14arcsin⁡x.y=\frac14\arcsin\sqrt{x}.

Therefore,

dydx= 14⋅11−x⋅12x= 18x(1−x).\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac14 \cdot\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\[4mm] =&\,\frac{1}{8\sqrt{x(1-x)}}. \end{align*}

Taking the reciprocal,

dxdy=8x(1−x).\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =8\sqrt{x(1-x)}.

Using x=sin⁡4y\sqrt{x}=\sin4y and 1−x=cos⁡4y\sqrt{1-x}=\cos4y on the given domain,

dxdy=8sin⁡4ycos⁡4y.\boxed{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =8\sin4y\cos4y }.

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)，先取导数的倒数。再由 x=sin⁡24yx=\sin^2 4y 得到 sin⁡4y=x\sin4y=\sqrt{x}、cos⁡4y=1−x\cos4y=\sqrt{1-x}，最后对根号内的二次式配方。

答题过程

展开

From part (b),

dydx=18sin⁡4ycos⁡4y.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{8\sin4y\cos4y}.

On the given domain, 0≤4y≤π20\le4y\le\dfrac{\pi}{2}, so

sin⁡4y=xandcos⁡4y=1−x.\sin4y=\sqrt{x} \quad\text{and}\quad \cos4y=\sqrt{1-x}.

Hence,

dydx= 18x(1−x)= 164x−64x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{8\sqrt{x(1-x)}}\\[4mm] =&\,\frac{1}{\sqrt{64x-64x^2}}. \end{align*}

Completing the square,

64x−64x2= −64(x2−x)= −64[(x−12)2−14]= 16−64(x−12)2.\begin{align*} 64x-64x^2 =&\,-64\big(x^2-x\big)\\[4mm] =&\,-64\Bigg[ \bigg(x-\frac12\bigg)^2-\frac14 \Bigg]\\[4mm] =&\,16-64\bigg(x-\frac12\bigg)^2. \end{align*}

Therefore,

dydx=116−64(x−12)2.\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{ \sqrt{16-64\bigg(x-\frac12\bigg)^2} } }.

Comparing this with

1q+r(x+s)2,\frac{1}{\sqrt{q+r(x+s)^2}},

we obtain

q=16,r=−64,s=−12.\boxed{q=16,\qquad r=-64,\qquad s=-\frac12}.

解法二

思路

展开

也可以沿用 (b) 解法二中先求反三角函数导数的路线，直接得到只含 xx 的导数，再完成平方。为承接题目的 “Hence”，仍明确使用了两种导数互为倒数的关系。

答题过程

展开

From

y=14arcsin⁡x,y=\frac14\arcsin\sqrt{x},

we found

dydx=18x(1−x).\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{8\sqrt{x(1-x)}}.

This is the reciprocal of the result for dxdy\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} in part (b). Also,

64x(1−x)= 64x−64x2= 16−64(x−12)2.\begin{align*} 64x(1-x) =&\,64x-64x^2\\[4mm] =&\,16-64\bigg(x-\frac12\bigg)^2. \end{align*}

Thus,

dydx=116−64(x−12)2,\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{ \sqrt{16-64\bigg(x-\frac12\bigg)^2} } },

so

q=16,r=−64,s=−12.\boxed{q=16,\qquad r=-64,\qquad s=-\frac12}.

(d)(i)

解法一

思路

展开

dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 为正，要使它最小，就要使分母最大。根号内是开口向下的配方二次式，其最大值在平方项为零时取得。

答题过程

展开

From part (c),

dydx=116−64(x−12)2.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{ \sqrt{16-64\bigg(x-\frac12\bigg)^2} }.

The denominator is greatest when

(x−12)2=0.\bigg(x-\frac12\bigg)^2=0.

Therefore, the required xx coordinate is

x=12.\boxed{x=\frac12}.

(d)(ii)

解法一

思路

展开

把上一小题所得的 x=12x=\dfrac12 代回 (c) 的配方形式，即可求出最小导数值。

答题过程

展开

At x=12x=\dfrac12,

dydx= 116−64(12−12)2= 116= 14.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{ \sqrt{16-64\bigg(\frac12-\frac12\bigg)^2} }\\[4mm] =&\,\frac{1}{\sqrt{16}}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac14}. \end{align*}