题目

Problem

(a) Using the identity for $\cos(A+B)$ , prove that

\cos 2A\equiv 2\cos^2A-1

(2)

(b) Hence, using algebraic integration, find the exact value of

\int_{\pi/12}^{\pi/8}\left(5-4\cos^2 3x\right)\,dx

(4)

题目中文翻译

(a) 利用 $\cos(A+B)$ 的恒等式，证明

\cos 2A\equiv 2\cos^2A-1

(b) 由此利用代数积分，求

\int_{\pi/12}^{\pi/8}\left(5-4\cos^2 3x\right)\,dx

的精确值。

解答

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严格从题目指定的和角公式开始，把 $B=A$ 代入。随后使用 $\sin^2A+\cos^2A=1$ 消去 $\sin^2A$ ，而不是直接引用待证明的二倍角公式。

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Using

\cos(A+B)\equiv\cos A\cos B-\sin A\sin B,

and setting $B=A$ ,

\begin{align*} \cos 2A \equiv&\,\cos A\cos A-\sin A\sin A\\[4mm] \equiv&\,\cos^2A-\sin^2A. \end{align*}

Since

\sin^2A+\cos^2A\equiv 1,

we have $\sin^2A\equiv1-\cos^2A$ . Therefore,

\begin{align*} \cos 2A \equiv&\,\cos^2A-\bigl(1-\cos^2A\bigr)\\[4mm] \equiv&\,2\cos^2A-1. \end{align*}

Hence,

\boxed{\cos 2A\equiv2\cos^2A-1}.

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由 (a) 令 $A=3x$ ，把 $\cos^2 3x$ 改写成只含 $\cos 6x$ 的一次式。这样被积函数便成为常数与余弦函数之和，可以直接积分，再准确代入两个含 $\pi$ 的上下限。

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From part (a), with $A=3x$ ,

\cos 6x\equiv2\cos^2 3x-1.

Thus,

4\cos^2 3x\equiv2\cos 6x+2,

and hence

5-4\cos^2 3x\equiv3-2\cos 6x.

Therefore,

\begin{align*} &\,\int_{\pi/12}^{\pi/8} \bigl(5-4\cos^2 3x\bigr)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_{\pi/12}^{\pi/8} \bigl(3-2\cos 6x\bigr)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\Bigg[ 3x-\frac13\sin 6x \Bigg]_{\pi/12}^{\pi/8}\\[4mm] =&\,\bigg( \frac{3\pi}{8}-\frac13\sin\frac{3\pi}{4} \bigg)\\[4mm] &\,-\bigg( \frac{\pi}{4}-\frac13\sin\frac{\pi}{2} \bigg)\\[4mm] =&\,\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{6} -\frac{\pi}{4}+\frac13\\[4mm] =&\,\frac{\pi}{8}+\frac{2-\sqrt2}{6}. \end{align*}

Hence the exact value is

\boxed{\frac{\pi}{8}+\frac{2-\sqrt2}{6}}.