函数 $f$ 定义为

(a) 证明 $f(x)=\dfrac{2x}{3x-5}$。

(b) 使用微积分证明 $f$ 是减函数。你必须清楚说明你的推理。

函数 $g$ 定义为

(c) 求 $g^{-1}$。

(d) 求满足

的 $a$ 的精确值。

先把二次式 $3x^2+7x-20$ 因式分解。这样两个分式会出现共同因子 $3x-5$，通分后即可约去 $x+4$。

Since

we have

Hence,

对 (a) 中得到的简式使用商法则求导。要证明函数递减，不仅要得到导数为负，还要结合定义域 $x>2$ 说明分母恒为正。

Using the quotient rule,

For $x>2$, we have $(3x-5)^2>0$. Therefore

Hence $f$ is a decreasing function on its domain.

令 $y=g(x)$，交换 $x$ 与 $y$ 后解出 $y$。原函数在 $x\geq 1$ 上的值域是 $[3,\infty)$，因此这也是反函数的定义域。

Let

Interchanging $x$ and $y$ gives

Therefore,

Since the range of $g$ is $[3,\infty)$,

把 (a) 的 $f(a)$ 代入 $g$，直接建立关于 $a$ 的方程。解出对数后，保留 $e$ 的形式以得到精确值。

Using the result from part (a),

Hence

Therefore,

so

This value satisfies $a>2$, so it lies in the domain of $f$.

也可以利用 (c) 的反函数。对 $g(f(a))=5$ 两边作用 $g^{-1}$，先求出 $f(a)$，再解有理方程。

Applying $g^{-1}$ to both sides of

gives

Using the results from parts (a) and (c),

Thus

and hence