本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

热源关闭后 $t$ 分钟，房间内空气温度为 $T^\circ\mathrm{C}$，其模型方程为

其中 $A$ 和 $B$ 是常数。

已知热源关闭瞬间房间内空气温度为 $18^\circ\mathrm{C}$，

(a) 求 $A$ 的值。

又已知热源关闭恰好 45 分钟后，房间内空气温度为 $16^\circ\mathrm{C}$，

(b) 求 $B$ 的值，精确到 3 位有效数字。

利用 $A$ 和 $B$ 的值，

(c) 根据模型，求热源关闭后恰好 2 分钟时房间内空气温度的变化率。答案以 $^\circ\mathrm{C}\,\mathrm{min}^{-1}$ 为单位，精确到 3 位有效数字。

(d) 解释为什么根据该模型，房间内空气温度不可能降到 $5^\circ\mathrm{C}$。

热源关闭瞬间对应 $t=0$。把 $T=18$ 与 $t=0$ 代入模型，并利用 $e^0=1$。

When $t=0$, $T=18$. Therefore,

Hence,

把 $t=45$、$T=16$ 与 (a) 的 $A=8$ 代入模型，先把指数项单独放在一边，再取自然对数求 $B$。

Using $A=8$, $t=45$ and $T=16$,

Taking natural logarithms,

Therefore, to $3$ significant figures,

对温度模型求导时，常数 $10$ 的导数为零，而 $e^{-Bt}$ 要使用链式法则，所以会出现负因子 $-B$。再代入 $t=2$ 以及前两问求得的 $A$、$B$。

Differentiating

gives

Using

when $t=2$,

Hence, to $3$ significant figures, the rate of change is

$A$ 与 $B$ 都为正，因此指数项始终为正。模型中的温度始终高于 $10^\circ\mathrm{C}$，并在时间增加时趋近于这个下限，所以不可能降至 $5^\circ\mathrm{C}$。

Since $A>0$, $B>0$ and $e^{-Bt}>0$,

Also, as $t\to\infty$,

Thus $10^\circ\mathrm{C}$ is the lower limit of the model, so the temperature cannot fall to $5^\circ\mathrm{C}$.

也可以假设温度达到 $5^\circ\mathrm{C}$ 并代入模型。整理后会要求一个正的指数函数等于负数，形成矛盾。

If $T=5$, then

However, $e^{-Bt}>0$ for every real value of $t$, so this equation has no solution. Therefore, according to the model, the temperature cannot fall to $5^\circ\mathrm{C}$.