本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

图 1 给出了曲线 $y=f(x)$ 的草图，其中

如图 1 所示，曲线与 $x$ 轴交于点 $R$。

(a) 写出点 $R$ 的坐标。

曲线有两个转折点，分别为点 $P$ 和点 $Q$，也在图 1 中标出。

(b) 证明在点 $P$ 和点 $Q$ 处，

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是需要求出的整数。

(c) 由此求点 $Q$ 的 $x$ 坐标，答案精确到小数点后 3 位。

指数因子始终为正，因此函数值为零只能来自 $\cos x=0$。图中 $R$ 是右侧的 $x$ 轴交点。

Since $2e^{3\sin x}>0$ for all $x$,

when

The point $R$ shown is the intercept with $x=\dfrac{3\pi}{2}$. Therefore,

函数是 $2e^{3\sin x}$ 与 $\cos x$ 的乘积，因此使用乘积法则，并在指数函数求导时使用链式法则。转折点处导数为零；提出始终不为零的指数因子后，再用 $\cos^2x=1-\sin^2x$ 化成关于 $\sin x$ 的二次方程。

Using the product rule and the chain rule,

At the turning points $P$ and $Q$, $f'(x)=0$. Since $2e^{3\sin x}>0$,

Using $\cos^2x=1-\sin^2x$,

Thus the required equation is

so $a=3$, $b=1$ and $c=-3$.

由 (b) 解关于 $\sin x$ 的二次方程。负根小于 $-1$，不可能是正弦值；正根在第一、第二象限各对应一个角。根据图像，$Q$ 位于第二象限，所以取补角。

Solving the equation from part (b),

gives

The value $\dfrac{-1-\sqrt{37}}6$ is less than $-1$, so it is not possible. Hence,

Point $Q$ lies in quadrant II, so

Therefore, to $3$ decimal places, the $x$ coordinate of $Q$ is