题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The curve $C$ has equation

y=\frac{16}{9(3x-k)}\qquad x\neq \frac{k}{3}

where $k$ is a positive constant not equal to 3

(a) Find $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ giving your answer in simplest form in terms of $k$ .

(2)

The point $P$ with $x$ coordinate 1 lies on $C$ .

Given that the gradient of the curve at $P$ is $-12$

(b) find the two possible values of $k$

(3)

Given also that $k<3$

(c) find the equation of the normal to $C$ at $P$ , writing your answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(3)

(d) show, using algebraic integration that,

\int_1^3 \frac{16}{9(3x-k)}\,\mathrm{d}x=\lambda\ln 10

where $\lambda$ is a constant to be found.

(4)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

曲线 $C$ 的方程为

y=\frac{16}{9(3x-k)}\qquad x\neq \frac{k}{3}

其中 $k$ 是一个不等于 3 的正常数。

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并将答案用含 $k$ 的最简形式表示。

横坐标为 1 的点 $P$ 在曲线 $C$ 上。

已知曲线在 $P$ 点处的斜率为 $-12$ ，

(b) 求 $k$ 的两个可能值。

又已知 $k<3$ ，

(d) 用代数积分证明

\int_1^3 \frac{16}{9(3x-k)}\,\mathrm{d}x=\lambda\ln 10

其中 $\lambda$ 是需要求出的常数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把分式写成负指数形式，再使用常数倍法则与链式法则求导。注意分母外的 $9$ 不能错误地乘进括号。

答题过程

展开

Write

y=\frac{16}{9}(3x-k)^{-1}.

Therefore,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{16}{9}(-1)(3x-k)^{-2}(3)\\[4mm] =&\,-\frac{16}{3}(3x-k)^{-2}. \end{align*}

Hence,

\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{16}{3(3x-k)^2} }.

(b)

解法一

思路

展开

在点 $P$ 处 $x=1$ ，把它代入 (a) 的导数并令斜率等于 $-12$ 。平方方程会产生正负两个分支，必须全部保留。

答题过程

展开

At $P$ , $x=1$ and the gradient is $-12$ . Hence,

-\frac{16}{3(3-k)^2}=-12.

Therefore,

\begin{align*} 16=&\,36(3-k)^2\\[4mm] (3-k)^2=&\,\frac49\\[4mm] 3-k=&\,\pm\frac23. \end{align*}

Thus,

\boxed{k=\frac73\quad\text{or}\quad k=\frac{11}{3}}.

(c)

解法一

思路

展开

由额外条件 $k<3$ 选择 $k=\frac73$ ，再求点 $P$ 的纵坐标。切线斜率为 $-12$ ，所以法线斜率为其负倒数 $\frac1{12}$ ；最后整理成整数系数的一般式。

答题过程

展开

Since $k<3$ , part (b) gives

k=\frac73.

At $P$ , $x=1$ , so

\begin{align*} y =&\,\frac{16} {9\bigl(3(1)-7/3\bigr)}\\[4mm] =&\,\frac{16}{6}\\[4mm] =&\,\frac83. \end{align*}

The gradient of the normal is

m_{\mathrm{normal}} =-\frac{1}{-12} =\frac1{12}.

Using the point $\bigl(1,\dfrac83\bigr)$ ,

y-\frac83=\frac1{12}(x-1).

Multiplying by $12$ and rearranging,

\boxed{12y-x-31=0}.

(d)

解法一

思路

展开

沿用 (c) 中由 $k<3$ 得到的 $k=\frac73$ 。对 $\frac1{3x-k}$ 积分时要补上内层导数 $3$ ，所以系数是 $\frac{16}{27}$ ；代入上下限后利用对数相减等于商的对数。

答题过程

展开

Using $k=\dfrac73$ ,

\begin{align*} &\,\int_1^3 \frac{16}{9(3x-k)}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \Bigg[ \ln\bigg(3x-\frac73\bigg) \Bigg]_1^3\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \Bigg[ \ln\bigg(\frac{20}{3}\bigg) -\ln\bigg(\frac23\bigg) \Bigg]\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \ln\bigg( \frac{20/3}{2/3} \bigg)\\[4mm] =&\,\frac{16}{27}\ln10. \end{align*}

Therefore,

\boxed{\lambda=\frac{16}{27}}.

解法二

思路

展开

也可以使用换元积分。令 $u=3x-\frac73$ ，同时把积分上下限由 $x$ 的值改成对应的 $u$ 值，再完成对数积分。

答题过程

展开

Using $k=\dfrac73$ , let

u=3x-\frac73.

Then

\mathrm{d}u=3\,\mathrm{d}x, \qquad \mathrm{d}x=\frac13\,\mathrm{d}u.

The new limits are

x=1\Longrightarrow u=\frac23

and

x=3\Longrightarrow u=\frac{20}{3}.

Therefore,

\begin{align*} &\,\int_1^3 \frac{16}{9(3x-k)}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \int_{2/3}^{20/3}\frac1u\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \bigl[\ln u\bigr]_{2/3}^{20/3}\\[4mm] =&\,\frac{16}{27} \ln\bigg(\frac{20/3}{2/3}\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{16}{27}\ln10. \end{align*}

Hence,

\boxed{\lambda=\frac{16}{27}}.

P3 2024 Jan Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程