题目

Problem

The function $g(x)$ is given by

g(x)=\frac{2x^2-5x+8}{x-2}

(a) Write $g(x)$ in the form

Ax+B+\frac{C}{x-2}

where $A$ , $B$ and $C$ are integers to be found.

(3)

(b) Hence use algebraic integration to show that

\int_4^8 g(x)\,\mathrm{d}x=\alpha+\beta\ln 3

where $\alpha$ and $\beta$ are integers to be found.

(4)

题目中文翻译

函数 $g(x)$ 定义为

g(x)=\frac{2x^2-5x+8}{x-2}

(a) 将 $g(x)$ 写成

Ax+B+\frac{C}{x-2}

的形式，其中 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是需要求出的整数。

(b) 由此用代数积分证明

\int_4^8 g(x)\,\mathrm{d}x=\alpha+\beta\ln 3

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是需要求出的整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对分子作多项式除法：先用 $2x^2$ 除以 $x$ 得到 $2x$ ，再处理余下的一次式，直到余数为常数。

答题过程

展开

First,

2x^2-5x+8 =2x(x-2)-x+8.

Also,

-x+8=-(x-2)+6.

Therefore,

\begin{align*} g(x) =&\,\frac{2x(x-2)-(x-2)+6}{x-2} \\[2mm] =&\,2x-1+\frac{6}{x-2}. \end{align*}

Hence,

\boxed{A=2,\qquad B=-1,\qquad C=6}.

(b)

解法一

思路

展开

本小题必须使用 (a) 的分式拆分结果。逐项积分后代入上下限，并用 $\ln6-\ln2=\ln3$ 合并对数项。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

\begin{align*} \int_4^8 g(x)\,\mathrm{d}x =&\,\int_4^8 \bigg(2x-1+\frac{6}{x-2}\bigg)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\big[x^2-x+6\ln|x-2|\big]_4^8. \end{align*}

Since $x-2>0$ throughout the interval,

\begin{align*} \int_4^8 g(x)\,\mathrm{d}x =&\,(64-8+6\ln6) \\ &\,-(16-4+6\ln2) \\[2mm] =&\,44+6(\ln6-\ln2) \\[2mm] =&\,44+6\ln3. \end{align*}

Thus,

\boxed{\alpha=44,\qquad\beta=6}.

解法二

思路

展开

也可以令 $u=x-2$ 。换元后同时转换积分上下限，再逐项积分。

答题过程

展开

Let

u=x-2.

Then $x=u+2$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ , and the limits $x=4,8$ become $u=2,6$ . Hence,

\begin{align*} \int_4^8 g(x)\,\mathrm{d}x =&\,\int_2^6 \bigg(2(u+2)-1+\frac{6}{u}\bigg)\,\mathrm{d}u \\[2mm] =&\,\int_2^6 \bigg(2u+3+\frac{6}{u}\bigg)\,\mathrm{d}u \\[2mm] =&\,\big[u^2+3u+6\ln u\big]_2^6 \\[2mm] =&\,(36+18+6\ln6) \\ &\,-(4+6+6\ln2) \\[2mm] =&\,44+6\ln3. \end{align*}

Therefore,

\boxed{\alpha=44,\qquad\beta=6}.

P3 2024 May Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程