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P3 2024 May Q7

A Level / Edexcel / P3

IAL 2024 May Paper · Question 7

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Given that

2sin⁡(x+45∘)=cos⁡(x−60∘)\sqrt{2}\sin(x+45^\circ)=\cos(x-60^\circ)

show that

tan⁡x=−2−3\tan x=-2-\sqrt{3}
(4)

(b) Hence or otherwise, solve, for 0≤θ<180∘0\leq \theta<180^\circ

2sin⁡(2θ)=cos⁡(2θ−105∘)\sqrt{2}\sin(2\theta)=\cos(2\theta-105^\circ)
(4)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 已知

2sin⁡(x+45∘)=cos⁡(x−60∘)\sqrt{2}\sin(x+45^\circ)=\cos(x-60^\circ)

证明

tan⁡x=−2−3\tan x=-2-\sqrt{3}

(b) 由此，或用其他方法，解方程

2sin⁡(2θ)=cos⁡(2θ−105∘)\sqrt{2}\sin(2\theta)=\cos(2\theta-105^\circ)

其中 0≤θ<180∘0\leq \theta<180^\circ。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用复角公式展开等式两边，并代入 45∘45^\circ、60∘60^\circ 的精确三角函数值。整理成 sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 的关系后，再用 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}，最后把分母有理化。

答题过程

展开

Using the compound-angle formulae,

 2(sin⁡xcos⁡45∘+cos⁡xsin⁡45∘)= cos⁡xcos⁡60∘+sin⁡xsin⁡60∘.\begin{align*} &\,\sqrt{2}\big( \sin x\cos45^\circ +\cos x\sin45^\circ\big) \\ =&\,\cos x\cos60^\circ +\sin x\sin60^\circ. \end{align*}

Substituting the exact values gives

sin⁡x+cos⁡x=12cos⁡x+32sin⁡x.\sin x+\cos x =\frac12\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.

Hence,

12cos⁡x= (32−1)sin⁡x,cos⁡x= (3−2)sin⁡x.\begin{align*} \frac12\cos x =&\,\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\bigg)\sin x, \\[2mm] \cos x=&\,(\sqrt{3}-2)\sin x. \end{align*}

Therefore,

tan⁡x= 13−2= 3+23−4= −2−3.\begin{align*} \tan x=&\,\frac{1}{\sqrt{3}-2} \\[2mm] =&\,\frac{\sqrt{3}+2}{3-4} \\[2mm] =&\,-2-\sqrt{3}. \end{align*}

Thus,

tan⁡x=−2−3.\boxed{\tan x=-2-\sqrt{3}}.

(b)

解法一

思路

展开

本解法使用 (a) 的结论。令 x+45∘=2θx+45^\circ=2\theta，即 x=2θ−45∘x=2\theta-45^\circ，则 (a) 中余弦的角也正好变成 2θ−105∘2\theta-105^\circ。随后在完整角度范围内求出正切方程的所有解。

答题过程

展开

Set

x+45∘=2θ,x+45^\circ=2\theta,

so that

x=2θ−45∘x=2\theta-45^\circ

and

x−60∘=2θ−105∘.x-60^\circ=2\theta-105^\circ.

Therefore, the equation in part (b) has exactly the form used in part (a). Hence,

tan⁡(2θ−45∘)=−2−3.\tan(2\theta-45^\circ)=-2-\sqrt{3}.

Since

tan⁡105∘=−2−3,\tan105^\circ=-2-\sqrt{3},

and −45∘≤2θ−45∘<315∘-45^\circ\leq 2\theta-45^\circ<315^\circ, we have

2θ−45∘=105∘, 285∘.2\theta-45^\circ=105^\circ,\ 285^\circ.

Thus,

2θ=150∘, 330∘,2\theta=150^\circ,\ 330^\circ,

so

θ=75∘, 165∘.\boxed{\theta=75^\circ,\ 165^\circ}.

解法二

思路

展开

也可以不使用 (a) 的直接解法。展开 cos⁡(2θ−105∘)\cos(2\theta-105^\circ)，整理成 tan⁡2θ\tan2\theta 的方程，再在 0≤2θ<360∘0\leq2\theta<360^\circ 内求解。

答题过程

展开

Expanding the right-hand side,

2sin⁡2θ= cos⁡2θcos⁡105∘ +sin⁡2θsin⁡105∘.\begin{align*} \sqrt{2}\sin2\theta =&\,\cos2\theta\cos105^\circ \\ &\,+\sin2\theta\sin105^\circ. \end{align*}

Therefore,

(2−sin⁡105∘)sin⁡2θ=cos⁡105∘cos⁡2θ,\big(\sqrt{2}-\sin105^\circ\big)\sin2\theta =\cos105^\circ\cos2\theta,

where

sin⁡105∘=6+24\sin105^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

and

cos⁡105∘=2−64.\cos105^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.

Thus,

tan⁡2θ= cos⁡105∘2−sin⁡105∘= 2−632−6= −13.\begin{align*} \tan2\theta =&\,\frac{\cos105^\circ} {\sqrt{2}-\sin105^\circ} \\[2mm] =&\,\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}} {3\sqrt{2}-\sqrt{6}} \\[2mm] =&\,-\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{align*}

For 0≤2θ<360∘0\leq2\theta<360^\circ,

2θ=150∘, 330∘.2\theta=150^\circ,\ 330^\circ.

Hence,

θ=75∘, 165∘.\boxed{\theta=75^\circ,\ 165^\circ}.