题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Solve, for $0<\theta\leq 360^\circ$ , the equation

3\tan^2\theta+7\sec\theta-3=0

giving your answers to one decimal place.

(5)

题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

求方程

3\tan^2\theta+7\sec\theta-3=0

在 $0<\theta\leq 360^\circ$ 内的解，答案精确到小数点后 1 位。

解答

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利用恒等式 $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ ，把原方程化为关于 $\sec\theta$ 的二次方程。解出 $\sec\theta$ 后，要舍去不符合 $|\sec\theta|\geq 1$ 的根，再根据指定角度范围找出两个解。

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Using $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ ,

\begin{align*} 3\big(\sec^2\theta-1\big)+7\sec\theta-3=&\,0\\ 3\sec^2\theta+7\sec\theta-6=&\,0\\ (3\sec\theta-2)(\sec\theta+3)=&\,0 \end{align*}

Hence

\sec\theta=\frac{2}{3} \quad\text{or}\quad \sec\theta=-3.

The first value is impossible because $|\sec\theta|\geq 1$ . Therefore

\cos\theta=-\frac{1}{3}.

Since cosine is negative in quadrants II and III,

\theta=109.471\ldots^\circ \quad\text{or}\quad \theta=250.528\ldots^\circ.

Therefore, to one decimal place,

\boxed{\theta=109.5^\circ,\ 250.5^\circ}.

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也可以把 $\tan^2\theta$ 和 $\sec\theta$ 都改写成正弦、余弦，再用 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ ，直接得到关于 $\cos\theta$ 的二次方程。这是官方评分资料明确接受的另一条路线。

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Writing the equation in terms of sine and cosine gives

3\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} +\frac{7}{\cos\theta}-3=0.

Since $\cos\theta\neq 0$ , multiply by $\cos^2\theta$ :

3\sin^2\theta+7\cos\theta-3\cos^2\theta=0.

Using $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ ,

\begin{align*} 3\big(1-\cos^2\theta\big) +7\cos\theta-3\cos^2\theta=&\,0\\ 6\cos^2\theta-7\cos\theta-3=&\,0\\ (3\cos\theta+1)(2\cos\theta-3)=&\,0. \end{align*}

Thus

\cos\theta=-\frac{1}{3} \quad\text{or}\quad \cos\theta=\frac{3}{2}.

Reject $\cos\theta=\frac32$ , since $-1\leq\cos\theta\leq1$ . Therefore

\boxed{\theta=109.5^\circ,\ 250.5^\circ}.