CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2024 Oct Q2

A Level / Edexcel / P3

IAL 2024 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of the curve with equation

x=2y2+5y−6x=2y^2+5y-6

(a) Find dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} in terms of yy.

(2)

The point PP lies on the curve and is shown in Figure 1.

Given that the tangent to the curve at PP is parallel to the yy-axis,

(b) find the coordinates of PP.

(3)
题目中文翻译

图 1 给出了曲线的草图，曲线方程为

x=2y2+5y−6x=2y^2+5y-6

(a) 用 yy 表示 dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

点 PP 在曲线上，并如图 1 所示。

已知曲线在 PP 点处的切线平行于 yy 轴，

(b) 求点 PP 的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

题目把 xx 写成了 yy 的函数，所以先对 yy 求导得到 dxdy\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}，再取倒数。

答题过程

展开

Differentiating x=2y2+5y−6x=2y^2+5y-6 with respect to yy,

dxdy=4y+5.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=4y+5.

Therefore,

dydx=14y+5.\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{4y+5}}.

(b)

解法一

思路

展开

切线平行于 yy 轴时，dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 无定义。因此令上一问所得分母为零，先求出 yy，再代回曲线方程求 xx。

答题过程

展开

At a vertical tangent, dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} is undefined. Hence

4y+5=0,4y+5=0,

so

y=−54.y=-\frac54.

Substituting into the equation of the curve,

x= 2(−54)2+5(−54)−6= 258−254−6= −738.\begin{align*} x=&\,2\bigg(-\frac54\bigg)^2 +5\bigg(-\frac54\bigg)-6\\ =&\,\frac{25}{8}-\frac{25}{4}-6\\ =&\,-\frac{73}{8}. \end{align*}

Therefore,

P(−738,−54).\boxed{P\bigg(-\frac{73}{8},-\frac54\bigg)}.

解法二

思路

展开

把曲线方程对 yy 配方。所得抛物线在顶点处的 xx 最小，而图中的曲线在该点转向，切线正好平行于 yy 轴。这也是官方评分资料接受的非求导路线。

答题过程

展开

Complete the square:

x= 2y2+5y−6= 2(y+54)2−738.\begin{align*} x=&\,2y^2+5y-6\\ =&\,2\bigg(y+\frac54\bigg)^2-\frac{73}{8}. \end{align*}

The turning point occurs when

y+54=0.y+\frac54=0.

Thus

y=−54andx=−738.y=-\frac54 \quad\text{and}\quad x=-\frac{73}{8}.

Hence

P(−738,−54).\boxed{P\bigg(-\frac{73}{8},-\frac54\bigg)}.