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P3 2024 Oct Q5

A Level / Edexcel / P3

IAL 2024 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Show that sin⁡3x\sin 3x can be written in the form

Psin⁡x+Qsin⁡3xP\sin x+Q\sin^3x

where PP and QQ are constants to be found.

(4)

(b) Hence or otherwise, solve, for 0<θ≤360∘0<\theta\leq 360^\circ, the equation

2sin⁡3θ=5sin⁡2θ2\sin 3\theta=5\sin 2\theta

giving your answers, in degrees, to one decimal place as appropriate.

(4)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 证明 sin⁡3x\sin 3x 可写成

Psin⁡x+Qsin⁡3xP\sin x+Q\sin^3x

的形式，其中 PP 和 QQ 是需要求出的常数。

(b) 由此或用其他方法，解方程

2sin⁡3θ=5sin⁡2θ2\sin 3\theta=5\sin 2\theta

其中 0<θ≤360∘0<\theta\leq 360^\circ，并在合适时将答案以角度表示，精确到小数点后 1 位。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 3x3x 写成 2x+x2x+x，使用正弦和角公式展开。再用倍角公式与 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x，把结果完全化成 sin⁡x\sin x 的多项式。

答题过程

展开

Using the compound-angle formula,

sin⁡3x= sin⁡(2x+x)= sin⁡2xcos⁡x+cos⁡2xsin⁡x.\begin{align*} \sin3x =&\,\sin(2x+x) \\[2mm] =&\,\sin2x\cos x+\cos2x\sin x. \end{align*}

Now use

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x

and

cos⁡2x=1−2sin⁡2x.\cos2x=1-2\sin^2x.

Then

sin⁡3x= 2sin⁡xcos⁡2x+(1−2sin⁡2x)sin⁡x= 2sin⁡x(1−sin⁡2x)+sin⁡x−2sin⁡3x= 3sin⁡x−4sin⁡3x.\begin{align*} \sin3x =&\,2\sin x\cos^2x +(1-2\sin^2x)\sin x \\[2mm] =&\,2\sin x(1-\sin^2x) +\sin x-2\sin^3x \\[2mm] =&\,3\sin x-4\sin^3x. \end{align*}

Therefore,

P=3,Q=−4.\boxed{P=3,\qquad Q=-4}.

(b)

解法一

思路

展开

本小题使用 (a) 的三倍角结果，并把 sin⁡2θ\sin2\theta 写成 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta。提出公因子 sin⁡θ\sin\theta 后分成两类：sin⁡θ=0\sin\theta=0，以及一个关于 cos⁡θ\cos\theta 的二次方程。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

2(3sin⁡θ−4sin⁡3θ)=10sin⁡θcos⁡θ.2\big(3\sin\theta-4\sin^3\theta\big) =10\sin\theta\cos\theta.

Therefore,

2sin⁡θ(3−4sin⁡2θ−5cos⁡θ)=0.2\sin\theta \big(3-4\sin^2\theta-5\cos\theta\big)=0.

First,

sin⁡θ=0.\sin\theta=0.

For 0<θ≤360∘0<\theta\leq360^\circ, this gives

θ=180∘, 360∘.\theta=180^\circ,\ 360^\circ.

For the other factor,

3−4sin⁡2θ−5cos⁡θ=0.3-4\sin^2\theta-5\cos\theta=0.

Using sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta,

3−4(1−cos⁡2θ)−5cos⁡θ= 0,4cos⁡2θ−5cos⁡θ−1= 0.\begin{align*} 3-4(1-\cos^2\theta)-5\cos\theta=&\,0, \\[2mm] 4\cos^2\theta-5\cos\theta-1=&\,0. \end{align*}

Hence,

cos⁡θ=5±418.\cos\theta=\frac{5\pm\sqrt{41}}{8}.

The value 5+418>1\frac{5+\sqrt{41}}{8}>1 is invalid. Thus,

cos⁡θ=5−418=−0.175390….\cos\theta=\frac{5-\sqrt{41}}{8} =-0.175390\ldots.

This gives

θ=100.101…∘, 259.898…∘.\theta=100.101\ldots^\circ,\ 259.898\ldots^\circ.

Therefore, to one decimal place where appropriate,

θ=100.1∘, 180∘, 259.9∘, 360∘.\boxed{\theta=100.1^\circ,\ 180^\circ,\ 259.9^\circ,\ 360^\circ}.