图 5 给出了曲线 $C$ 的一部分草图，其方程为 $y=f(x)$，其中

(a) 求 $f'(x)$，并把答案写成最简形式。

直线 $l$ 是曲线 $C$ 在点 $P(2,6)$ 处的法线。

(b) 证明直线 $l$ 的方程为

(c) 将 $f(x)$ 写成 $Ax+B+\dfrac{D}{2x+1}$ 的形式，其中 $A$、$B$ 和 $D$ 是常数。

图 5 中阴影部分区域 $R$ 由 $C$、$l$ 和 $x$ 轴围成。

(d) 用代数积分求 $R$ 的精确面积，并将答案写成 $P+Q\ln 3$ 的形式，其中 $P$ 和 $Q$ 是有理常数。

（不接受完全依赖计算器技术的解法。）

对分式使用商法则，注意分母的导数为 $2$。随后展开并合并分子中的同类项，得到最简形式。

Using the quotient rule,

Therefore,

先把 $x=2$ 代入 (a) 的导数，得到点 $P$ 处切线斜率；法线斜率是它的负倒数。再用点斜式写出法线，并整理成题目指定的形式。

At $x=2$,

Therefore, the gradient of the normal is $-\frac{5}{16}$. Since it passes through $P(2,6)$,

Hence,

Thus, an equation of $l$ is

使用多项式除法，先确定商的一次项 $3x$，再确定常数项 $\frac12$，最后把余数写在原分母 $2x+1$ 上。

We seek constants $A$, $B$ and $D$ such that

Expanding the right-hand side,

Comparing coefficients gives

so $A=3$. Also,

so $B=\frac12$. Finally,

so $D=-\frac52$.

Therefore,

先找区域的三个关键点：曲线与 $x$ 轴交于 $x=\frac13$，曲线与法线在 $P$ 处相交，而法线与 $x$ 轴交于 $x=\frac{106}{5}$。区域面积等于从 $\frac13$ 到 $2$ 的曲线下方面积，加上从 $2$ 到 $\frac{106}{5}$ 的法线下方三角形面积。

The curve meets the $x$-axis when

Factorising,

Since $x>-\frac12$, the relevant root is

The line $l$ meets the $x$-axis when $y=0$, so

Using the result from part (c),

Thus the area under the curve from $x=\frac13$ to $x=2$ is

The remaining part is a triangle with height $6$ and base

Therefore, its area is

Hence,