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P3 2025 Jan Q10

A Level / Edexcel / P3

IAL 2025 Jan Paper · Question 10

题目

Problem

Figure 2 shows a sketch of the curve with equation

x=3cos⁡2y−3≤x≤30≤y≤π2x=3\cos 2y\qquad -3\leq x\leq 3\qquad 0\leq y\leq \frac{\pi}{2}

(a) Find dxdy\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} in terms of yy.

(2)

(b) Hence show that

dydx=k9−x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{k}{\sqrt{9-x^2}}

where kk is a constant to be found.

(3)

The point P(a,b)P(a,b) lies on the curve and is shown in Figure 2.

Given that

  • the gradient of the curve at PP is −14-\dfrac14
  • both aa and bb are positive

(c) find the exact values of aa and bb.

(4)
题目中文翻译

图 2 给出了曲线的草图，曲线方程为

x=3cos⁡2y−3≤x≤30≤y≤π2x=3\cos 2y\qquad -3\leq x\leq 3\qquad 0\leq y\leq \frac{\pi}{2}

(a) 求用 yy 表示的 dxdy\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}。

(b) 由此证明

dydx=k9−x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{k}{\sqrt{9-x^2}}

其中 kk 是需要求出的常数。

点 P(a,b)P(a,b) 在曲线上，并如图 2 所示。

已知

  • 曲线在 PP 点处的斜率为 −14-\dfrac14
  • aa 和 bb 都为正

(c) 求 aa 和 bb 的精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对 x=3cos⁡2yx=3\cos2y 关于 yy 求导，使用链式法则；cos⁡2y\cos2y 求导时会额外产生因子 22。

答题过程

展开

Differentiating with respect to yy,

dxdy=−6sin⁡2y.\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =-6\sin2y}.

(b)

解法一

思路

展开

先对 (a) 的结果取倒数。再由 x=3cos⁡2yx=3\cos2y 得到 cos⁡2y=x3\cos2y=\dfrac{x}{3}，利用平方关系把 sin⁡2y\sin2y 改写成 xx。由于 0≤2y≤π0\leq2y\leq\pi，所以 sin⁡2y≥0\sin2y\geq0，平方根必须取正号。

答题过程

展开

From part (a),

dydx=−16sin⁡2y.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{1}{6\sin2y}.

Since

cos⁡2y=x3,\cos2y=\frac{x}{3},

and 0≤2y≤π0\leq2y\leq\pi, we have sin⁡2y≥0\sin2y\geq0. Therefore,

sin⁡2y= 1−cos⁡22y= 1−x29= 9−x23.\begin{align*} \sin2y=&\,\sqrt{1-\cos^22y}\\ =&\,\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\\ =&\,\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}. \end{align*}

Hence

dydx= −16(9−x2/3)= −129−x2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,-\frac{1}{ 6\big(\sqrt{9-x^2}/3\big)}\\ =&\,-\frac{1}{2\sqrt{9-x^2}}. \end{align*}

Thus

k=−12.\boxed{k=-\frac12}.

(c)

解法一

思路

展开

直接使用 (b) 的结果和给定斜率先求 aa。平方后会得到正、负两个候选值，但题目说明 a>0a>0，所以只取正根。然后把 aa 代回曲线方程求 bb，这也体现了 Hence 对上一问的承接。

答题过程

展开

At P(a,b)P(a,b), the gradient is −14-\dfrac14. Using part (b),

−129−a2=−14.-\frac{1}{2\sqrt{9-a^2}}=-\frac14.

Hence

9−a2=2,\sqrt{9-a^2}=2,

so

a2=5.a^2=5.

Since a>0a>0,

a=5.a=\sqrt5.

Substituting into x=3cos⁡2yx=3\cos2y,

5=3cos⁡2b.\sqrt5=3\cos2b.

As 0≤b≤π20\leq b\leq\dfrac{\pi}{2} and b>0b>0,

b=12arccos⁡(53).b=\frac12\arccos\bigg(\frac{\sqrt5}{3}\bigg).

Therefore,

a=5,b=12arccos⁡(53).\boxed{a=\sqrt5,\qquad b=\frac12\arccos\bigg(\frac{\sqrt5}{3}\bigg)}.

解法二

思路

展开

也可以从 (a) 的倒数形式直接求 bb：把斜率代入 dydx=−16sin⁡2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac1{6\sin2y}，先得到 sin⁡2b\sin2b。再利用 a>0a>0 确定 cos⁡2b\cos2b 取正值，从而求出 aa。

答题过程

展开

Using the reciprocal of the result in part (a),

−16sin⁡2b=−14.-\frac{1}{6\sin2b}=-\frac14.

Thus

sin⁡2b=23.\sin2b=\frac23.

Since a=3cos⁡2b>0a=3\cos2b>0, we require cos⁡2b>0\cos2b>0. Hence

b=12arcsin⁡(23).b=\frac12\arcsin\bigg(\frac23\bigg).

Also,

a= 3cos⁡2b= 31−sin⁡22b= 31−49= 5.\begin{align*} a=&\,3\cos2b\\ =&\,3\sqrt{1-\sin^22b}\\ =&\,3\sqrt{1-\frac49}\\ =&\,\sqrt5. \end{align*}

Therefore,

a=5,b=12arcsin⁡(23).\boxed{a=\sqrt5,\qquad b=\frac12\arcsin\bigg(\frac23\bigg)}.