已知

(a) (i) 求常数 $A$、$B$ 和 $C$ 的值；

(ii) 证明 $D=0$。

(b) 由此使用代数积分求

答案写成 $p+q\ln 2$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。

先把恒等式右边乘回共同分母，再展开并比较 $x^3$、$x^2$ 和 $x$ 的系数。恒等式对所有允许的 $x$ 都成立，所以对应次数的系数必须相等。

Multiplying the identity by $x^2+4$ gives

Comparing coefficients,

and

Therefore,

Hence

继续比较常数项。由上一小题的 $B=2$，右边常数项为 $4B+D$；令它等于左边的常数项 $8$，即可自然证明 $D=0$。

Comparing the constant terms gives

Since $B=2$,

so

也可以使用多项式长除法。先用 $x^2+4$ 除原分子，求出一次商；余式中的 $x$ 项给出 $C$，没有常数项则直接证明 $D=0$。

Dividing $4x^3+2x^2+3x+8$ by $x^2+4$,

Therefore,

Comparing this with

gives

In particular, the remainder has no constant term, so $D=0$ as required.

由 (a) 的恒等分解，原被积函数可写成 $4x+2-\dfrac{13x}{x^2+4}$。最后一项的分子与分母导数只差常数倍，因此积分会产生 $\ln(x^2+4)$。代入上下限后再利用对数定律化成题目指定形式。

Using the identity found in part (a),

Therefore,

Hence